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Enero de 2014

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Vocabulario aeroespacial (8): «taxi» o «rodadura»

2014-01-31

Continuamos con nuestra serie introductoria de la jerga aeroespacial. Hoy hablaremos de lo que es el «taxi» o la «rodadura». Probablemente, es fácil hacerse a la idea de lo que significan estos términos: se refieren al desplazamiento en tierra de una aeronave. No se trata de cualquier desplazamiento: si desmontamos un ultraligero y lo cargamos en un camión para llevarlo a la otra punta del país, no se trata de taxi. El taxi lo realiza la aeronave en el suelo del aeródromo por las calles de rodadura para ir de un lugar a otro. Las maniobras de despegue y aterrizaje, que se hacen en las pistas, no son taxi.


Categorías: Aeroespacio, Lingüística

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Día del Aprecio al Plástico de Burbujas

2014-01-27

El último lunes de enero es el Día del Aprecio al Plástico de Burbujas. Nos referimos al film alveolar: ese plástico de embalar con burbujas llenas de aire que a la vez sirven de protección y de delicioso divertimento. En este día, realizamos toda clase de actividades con nuestro material de embalaje favorito.

Este año sugerimos un interesante uso para el plástico de burbujas: aislante térmico de bajo coste para ventanas de hoja simple. La idea consiste en pegar una lámina de plástico a la ventana, de modo que deje pasar la iluminación general. Hay soluciones más eficaces, pero el plástico de burbujas puede ser útil si no tenemos un sistema mejor. Si disponemos de ventanas con cámara de aire, una lámina de un centímetro de espesor ofrece mejoras bastante pequeñas, no obstante.


Categorías: Fechas

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Epílogo del conflicto de control aéreo de diciembre de 2010 (1)

2014-01-26

Tres años después del conflicto del control del tráfico aéreo español de diciembre de 2010, hacemos un repaso de lo que han sido las consecuencias. Hoy examinamos qué fue del supuesto abandono masivo de los puestos de trabajo que, si hacemos caso a los jueces que han estado examinando los diferentes casos, no tuvo lugar. Hay que insistir: los procedimientos judiciales llegan sistemáticamente a la conclusión de que lo que hubo fue un cierre patronal. Veamos dos ejemplos:

Con las cosas así, a pesar de la abrumadora evidencia de que el cierre fue cosa de Aena, todavía quedará en la memoria colectiva el fruto de la campaña de desinformación que tan magistralmente desarrollaron unas cuantas partes interesadas en demonizar al trabajador, bien para distraer la atención, bien para obtener pingües ganancias económicas a costa del resto de los españoles. Que no sea por este pequeño rincón de Internet. Aena se lo guisó, los demás cayeron en la trampa y unos cuantos depredadores aprovecharon muy bien el asunto.


Categorías: Actualidad, Aeroespacio, Derechos

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Campeonato de Europa de Patinaje Artístico de 2014 (5)

2014-01-19

Estos días se celebra el Campeonato de Europa de Patinaje Artístico de 2014 en Budapest. Hoy tuvo la última final: la de parejas.

Tras la retirada de los alemanes Aliona Savchenko y Robin Szolkowy por culpa de una infección respiratoria, los metales han acabado todos en manos rusas: el oro a Tatiana Volosozhar y Maxim Trankov; la plata a Ksenia Stolbova y Fedor Klimov (en buen ascenso desde la cuarta plaza del corto); y el bronce a Vera Bazarova y Yuri Larionov.


Categorías: Actualidad, Deporte

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Campeonato de Europa de Patinaje Artístico de 2014 (4)

2014-01-18

Estos días se celebra el Campeonato de Europa de Patinaje Artístico de 2014 en Budapest. Hoy tuvo lugar la final masculina.

Estamos de enhorabuena: Javier Fernández repite título de campeón de Europa. Esta vez sí ha ido bien. La distancia al segundo, Sergei Voronov, ha sido de casi quince puntos. Esto ha sido espectacular.

El bronce ha venido cargado de sustos y sorpresas. La lucha por este puesto en el último grupo ha estado marcada por la catástrofe, los globos y los revolcones por el hielo salvo en el caso de Michal Brezina, pero la medalla se la ha llevado un Konstantin Menshov que parecía subido a un cohete de lo rápido que ascendía desde su puesto 11 en el corto.

No nos olvidamos de Javier Raya, que ha acabado en el puesto número 18.


Categorías: Actualidad, Deporte

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Campeonato de Europa de Patinaje Artístico de 2014 (3)

2014-01-17

Estos días se celebra el Campeonato de Europa de Patinaje Artístico de 2014 en Budapest. Hoy tuvieron lugar el largo femenino y el corto de parejas.

En la categoría femenina, Sonia Lafuente no pudo llegar a la final tras el corto, pero Marta García sí y acabó en la plaza número 22 tras el largo de este Campeonato de Europa que es el primero en el que participa. El podio está ocupado por Carolina Kostner (bronce), Adelina Sotnikova (plata) y Julia Nipnitskaia. Las dos primeras plazas nos han ofrecido emoción… y flutzes para ponernos nerviosos.

En parejas tenemos también participación española: Veronica Grigorieva y Aritz Maestu, quienes no llegan a la final, lamentablemente. La primera plaza temporal se la llevan Tatiana Volosozhar y Maxim Trankov y mucho tiene que pasar para que los campeones rusos no repitan su título de los últimos dos años. La segunda plaza temporal se va a Alemania: Aliona Savchenko y Robin Szolkowy se mantienen a más de siete puntos de distancia de los primeros. La tercera plaza temporal está en manos de los rusos Vera Bazarova y Yuri Larionov, pero la distancia a varios contendientes es pequeña y el bronce andará disputadillo.


Categorías: Actualidad, Deporte

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Campeonato de Europa de Patinaje Artístico de 2014 (2)

2014-01-16

Estos días se celebra el Campeonato de Europa de Patinaje Artístico de 2014 en Budapest. Hoy tuvieron lugar el corto masculino y el largo de danza.

En la categoría masculina tenemos una primera plaza temporal para Javier Fernández, quien esta vez sí ha tenido una excelente actuación, algo espectacular. ¿Logrará repetir el título conseguido el año pasado? Le siguen con cierto margen Sergei Voronov, Tomas Verner, Maxim Kovtun y Michal Brezina. Este último patinador se llevó el bronce el año pasado. El francés Florent Amodio, que en los anteriores europeos había podido con todo, acaba hoy en la séptima plaza. Javier Raya, el segundo compañero español en esta categoría, se encuentra en la plaza número 20.

En danza, la apuesta de España, Sara Hurtado y Adrià Díaz, mantiene el puesto número 11 obtenido en el corto. Esto supone un ascenso importante desde los anteriores europeos y su mejor puntuación. Tampoco ha habido movimiento en las primeras plazas desde el corto: Anna Cappellini y Luca Lanotte quedan primeros; Elena Ilinykh y Nikita Katsalapov les siguen de cerca en el segundo puesto; y Penny Coomes y Nicholas Buckland acaban en tercer lugar.


Categorías: Actualidad, Deporte

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Cameponato de Europa de Patinaje Artístico de 2014 (1)

2014-01-15

Estos días se celebra el Campeonato de Europa de Patinaje Artístico de 2014 en Budapest. Hoy pudimos ver los cortos de chicas y danza.

En la categoría femenina se presentan por España Sonia Lafuente y Marta García. Sonia ha quedado en el puesto número 28 y Marta está en el número 20 de la clasificación. Las tres primeras plazas parece que se las disputan Carolina Kostner, Julia Lipnitskaia y Adelina Sotnikova.

En danza, España presenta a Sara Hurtado y Adrià Díaz, quienes han quedado en el puesto 11 de la clasificación tras el corto. Las dos primeras plazas se las llevan por ahora Anna Cappellini y Luca Lanotte y Elena Ilinykh y Nikita Katsalapov con unas puntuaciones ajustadísimas, mientras que el tercer puesto está Penny Coomes y Nicholas Buckland, pero accesible para varias parejas.


Categorías: Actualidad, Deporte

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Cómo estimar potencias mentalmente

2014-01-11

Hoy vamos a aprender a estimar rápidamente potencias reales de números reales positivos con errores bastante razonables (del orden del 5 % como mucho). La técnica se basa en las que ya conocemos para estimar logaritmos y la función exponencial. Nos basamos en la siguiente propiedad:

ab = eb ⋅ log(a).

Sabemos calcular logaritmos, productos y exponenciales en base e con un par de cifras, así que podemos realizar el cálculo cómodamente.

Esperamos buena precisión cuando los números no son muy grandes. Si en nuestro cálculo acabamos con la exponencial de un número enorme, no podremos ser precisos. Si manejamos un error del 5 % en el argumento de la exponencial, el error final será mayor en cuanto el argumento supere el valor 2.

Primer ejemplo

Digamos que deseamos conocer la raíz cuadrada de 3. Ya conocemos una técnica rápida para estimar raíces cuadradas; esta técnica nos indica que el valor es aproximadamente 1,7. Alternativamente, podemos usar la igualdad 30,5 = e0,5 log(3). Como log(3) ≈ 1,1, tenemos que calcular e0,5 1,1 = e0,55; esto es aproximadamente igual a 1,7, que coincide con el anterior y es una excelente aproximación de la raíz cuadrada de 3.

Segundo ejemplo

La población mundial actual es de unas 7,1 ⋅ 109 personas y crece a un ritmo próximo al 1 % anual. Si siguiera creciendo a este ritmo, ¿cómo quedaría dentro de un siglo? Para saberlo, tenemos que calcular 7,1 ⋅ 109 ⋅ 1,01100 = 7,1 ⋅ 109 ⋅ e100 log(1,01). En primer paso es calcular log(1,01) ≈ 0,01. Seguidamente, calculamos e100 ⋅ 0,01 = e1 ≈ 2,7. Nos queda, por lo tanto, una población prevista de 19 ⋅ 109 personas. La predicción es poco realista por la tasa de crecimiento constante.


Categorías: Matemáticas

Permalink: http://sgcg.es/articulos/2014/01/11/como-estimar-potencias-mentalmente/

Cómo estimar la función exponencial mentalmente

2014-01-07

Hoy vamos a aprender a estimar rápidamente el valor de la función exponencial con argumento real con un par de cifras significativas. En concreto, buscamos manejar errores inferiores al 5 %. Se trata de una habilidad que puede ser muy útil en trabajillos rápidos de electrónica, control térmico y otras disciplinas en las que la función exponencial aparece cada dos por tres. Muchos estudiantes que se enfrentan a exámenes sin calculadoras ni tablas de funciones (¡es para que no os volváis unos zoquetes!) pueden encontrar esta habilidad bastante útil.

Hay que considerar que la función exponencial diverge muy deprisa cuando su argumento es un número positivo de gran magnitud y converge muy rápidamente a cero cuando su argumento es un número negativo de gran valor absoluto. Por lo tanto, no podremos confiar en alcanzar la precisión propuesta si los argumentos tienen un valor absoluto grande.

Propiedades útiles de la función exponencial

Sean a y b dos números reales. La función exponencial aplicada a estos números cumple las siguientes propiedades:

Algoritmo básico

Tenemos que recordar la minúscula tabla de logaritmos naturales que memorizamos para poder calcular logaritmos mentalmente. La recordamos:

De esto se deduce que log(10) ≈ 2,3, que es algo que vamos a usar mucho porque es muy conveniente al trabajar en base 10.

Con esto, podemos elaborar una lista de exponenciales:

Hemos usado una aproximación más precisa del logaritmo de 7 (1,95 en vez de 1,9) para poder cuadrar las dos cifras. Alternativamente, podemos seguir usando 1,9 si el error del 5 % es lo que nos preocupa y no trabajamos con números muy grandes. Tendremos en cuenta que si aproximamos el argumento de la exponencial con un error del 5 %, el error final será superior a este 5 % en cuanto el argumento supere 2.

Nuestro algoritmo de aproximación de la función exponencial consiste en encontrar primero una potencia de diez próxima al número que queremos obtener y luego buscar un número de la tabla de exponenciales que sirva de pivote para aproximar alrededor de él.

  1. Buscamos la potencia de diez más cercana: d múltiplo entero de 2,3 más próximo a x.
  2. rx − 2,3 ⋅ d (es decir, el resto).
  3. Si r < 0,25, como sabemos que er ≈ 1+r, que e2,3 ≈ 10, que e2,3 ⋅ d = (e2,3)d, que x = 2,3 ⋅ d + r y que e2,3 ⋅ d + r = e2,3 ⋅ d ⋅ er, aproximamos la función exponencial como ex ≈ (1+r) ⋅ 10d.
  4. Si no, si r < 0,50, mediante el mismo razonamiento pero con una aproximación de segundo orden de er, ex ≈ (1+r+0,5⋅r2) ⋅ 10d.
  5. Si no, buscamos un pivote:
    1. Sea log(n) el número más próximo a |r| de la tabla de los exponenciales (0,69, 1,1, 1,6 o 1,95, de manera que n es 2,0, 3,0, 5,0 o 7,0).
    2. Asignamos un nuevo resto para aproximar: i ← |r| − n.
    3. Por las propiedades anteriores de exponenciales de sumas y productos de exponenciales, llegamos a la aproximación:
      1. Si r es positivo, exn ⋅ (1+i) ⋅ 10d.
      2. Si r es negativo, ex ≈ (1 ⁄ n) ⋅ (1−i) ⋅ 10d.

A veces, es muy evidente que el exponente queda expresado como una combinación lineal de 0,69, 1,1, 1,6 y 1,95 sin seguir el algoritmo anterior, así que podemos dar la solución más directamente como producto de 2, 3, 5 y 7.

Ejemplo: la exponencial de un número pequeño

La exponencial de 0,15 queda bien aproximada de la manera siguiente: e0,15 ≈ 1 + 0,15 ≈ 1,2. El error relativo es un poco mayor que el 3 %.

Ejemplo: la exponencial de un número grande

Aproximamos la exponencial de 15 así:

  1. El múltiplo de 2,3 más próximo a 15 es 16,1 = 2,3 ⋅ 7, por lo que tomamos d ← 7.
  2. El resto es r ← 15 − 16,1 = −1,1. Este número no es pequeño.
  3. El pivote más próximo a |r| = 1,1 es log(3,0) = 1,1, con lo que n ← 3,0.
  4. No hay más incrementos que aplicar: i ← 0,0.
  5. Terminamos la aproximación: e17 ≈ (1 ⁄ 3,0) ⋅ (1−0,0) ⋅ 107 ≈ 3,3 ⋅ 106. El pivote aparece dividiendo porque el resto era negativo. El error relativo es un poco mayor que el 0,1 %.

Ejemplo: la exponencial de otro número grande

Aproximamos la exponencial de 17 así:

  1. El múltiplo de 2,3 más próximo a 17 es 16,1 = 2,3 ⋅ 7, por lo que tomamos d ← 7.
  2. El resto es r ← 17 − 16,1 = −0,9. Este número no es pequeño.
  3. El pivote más próximo a |r| = 0,9 es log(3,0) = 1,1, con lo que n ← 3,0.
  4. El incremento es negativo: i ← 0,9 − 1,1 = −0,2.
  5. Terminamos la aproximación: e17 ≈ 3,0 ⋅ [1+(−0,2)] ⋅ 107 ≈ 2,4 ⋅ 107. El error relativo está entre el 0,6 % y el 0,7 %.

Ejemplo: la exponencial de un número pequeño, pero no muy pequeño

Aproximamos la exponencial de 0,42.

  1. El orden de magnitud es de la unidad: d ← 0.
  2. El número es pequeño, pero no tan pequeño como para poder hacer el desarrollo de primer orden. Hay que ir a segundo orden: e0,42 ≈ (1+0,42+0,5 ⋅ 0,422) ⋅ 100 ≈ 1,00 + 0,42 + 0,09 = 1,51 ≈ 1,5. Este resultado se aproxima muy bien a e0,42 ≈ 1,5220.

Ejemplo: la exponencial de un número negativo

Vamos a calcular la exponencial de −5,0.

  1. El múltiplo entero de 2,3 más próximo a −5,0 es −2 ⋅ 2,3 = 4,6, con lo que d ← −2.
  2. El resto es r ← −0,4. Este número es pequeño, pero no muy pequeño.
  3. Podemos hacer la aproximación de Maclaurin de segundo orden: e−5,0 ≈ [1+(−0,4)+0,5 ⋅ (−0,4)2]⋅ ⋅10−2 ≈ 6,8 ⋅ 10−3. El error relativo es inferior al 1 %.

Ejemplo: solución inmediata

Digamos que queremos calcular la exponencial de 2,7. Podríamos seguir el algoritmo, pero es más rápido hacer la aproximación si nos damos cuenta de que 2,7 = 1,1 + 1,6, con lo que e2,7 = e1,1+1,6 = e1,1 ⋅ e1,6 ≈ 3,0 ⋅ 5,0 ≈ 15. Esta solución concuerda muy bien con la más exacta e2,7 ≈ 14,880.


Categorías: Matemáticas

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San Feldespato

2014-01-01

El 1 de enero es San Feldespato, la fiesta práctica e inteligente en la que los regalos se intercambian justo después de felicitar el año nuevo. Es la guinda a la celebración de la entrada del nuevo año. Esta fiesta de San Feldespato empezó como una broma privada, pero aquí nos dedicamos a promocionarla como un servicio a la especie humana. Aquí en España es frecuente que los niños tengan que esperar hasta dentro de varios días para recibir regalos… ¡hasta tan tarde que se les acaban las vacaciones! Sin duda, San Feldespato es una cosa que se agradece mucho más.


Categorías: Fechas

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