Cómo estimar logaritmos mentalmente

2013-11-27

A veces es útil hacer cálculos mentales rápidos que a lo mejor no son muy precisos, pero nos sirven para sacar adelante el trabajo. Vamos a ver una técnica para calcular estimar el valor del logaritmo de un número real con un par de cifras decimales.

Algunas propiedades de los logaritmos

El logaritmo log(x) de un número x es otro número tal que se cumple la condición e^log(x) = x. La constante e es la base de los logaritmos decimales y tiene el valor e ≡ lim_n→∞(1 + 1 ⁄ n)ⁿ ≈ 2,7.

El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores: log(x⋅y) = log(x) + log(y). Como consecuencia de esto, el logaritmo de un cociente es igual a la diferencia del logaritmo del numerador y el logaritmo del denominador: log(x ⁄ y) = log(x) − log(y). De igual manera, se deduce que el logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente y el logaritmo de la base: log(x^y) = y ⋅ log(x).

El logaritmo natural está en base e, pero podemos definir logaritmos en otras bases. El logaritmo log_b(x) en base b de un número x es otro número tal que se cumple la condición b^log_b(x) = x. Si conocemos el logaritmo log_b(x) en base b de un número x, podemos calcular su logaritmo log_a(x) en base a mediante la identidad log_a(x) ≡ log_b(x) ⁄ log_b(a).

Cuando el argumento de un logaritmo natural es próximo a la unidad, podemos hacer la siguiente aproximación: log(1+x) ≈ x. Esta aproximación pierde precisión cuando el argumento del logaritmo se aleja de la unidad. Si el incremento x frente a la unidad es igual o más pequeño que 0,2 en valor absoluto, entonces mantenemos la cifra de los decimales: log(0,8) = log(1−0,2) ≈ −0.2, por ejemplo.

Algunos logaritmos útiles

Nos conviene aprender las aproximaciones de cinco logaritmos que son muy convenientes cuando trabajamos en base decimal. Estas aproximaciones son para el número 10 y para los números primos 2, 3, 5 y 7.

log(2) ≈ 0,69;
log(3) ≈ 1,1;
log(5) ≈ 1,6;
log(7) ≈ 1,9;
log(10) ≈ 2,3.

Estos logaritmos nos servirán en los cálculos. El logaritmo de 10 se deduce de los logaritmos de 2 y 5, pero es de un uso tan práctico cuando trabajamos con números decimales que lo tomamos dentro de nuestro pequeño conjunto de logaritmos básicos.

Método de cálculo

Nuestro objetivo es calcular el logaritmo natural con un par de cifras de precisión. Si lo necesitamos en otra base, podemos hacer la conversión. Si el número es muy próximo a la unidad, podemos usar la aproximación asintótica que vimos antes. Si no lo es, lo que debemos hacer es hacer uso de la propiedad del logaritmo de un cociente y aplicar divisiones sucesivas entre 2, 3, 5, 7 y 10 elegidas astutamente para quede un número entre 0,8 y 1,2; de esta manera, nuestro logaritmo se reduce a unas pocas divisiones y una suma. Para las divisiones, no hace falta mucha precisión, sino que podemos conformarnos con un par de decimales, que es nuestro objetivo de precisión. De igual manera, partiremos del argumento del logaritmo redondeado a un par de cifras.

Primer ejemplo

Esto queda más claro con un ejemplo. Vamos a estimar el valor del logaritmo del número 1729.

En primer lugar, aproximamos el argumento a dos cifras: 1729 ≈ 1700.
En segundo lugar, vamos a dejar el número como un producto de dieces y un número pequeño: 1700 = 1,7 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10.
El número pequeño todavía está algo lejos de la unidad, pero si lo dividimos entre 2, que es uno de nuestros números primos, el cociente está dentro de tolerancias: 1,7 = 2 ⋅ 0,85.
De esta manera, tenemos esta aproximación 1729 ≈ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 2 ⋅ 0,85.
Por lo tanto, log(1729) ≈ log(10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 2 ⋅ 0,85) = log(10) + log(10) + log(10) + log(2) + log(0,85) = log(10) + log(10) + log(10) + log(2) + log(1-0,15) ≈ 2,3 + 2,3 + 2,3 + 0,69 - 0,15 ≈ 7,4.
¡Este resultado coincide con log(1729) ≈ 7,4553 con una precisión mejor que el 1 %: mucho mejor que el 10 %!

Segundo ejemplo

Podemos probar con otro número: 859.

Empezamos con una aproximación a dos cifras: 859 ≈ 860.
Acercamos el número a uno de nuestros primos dividiéndolo un par de veces por diez: 860 = 10 ⋅ 10 ⋅ 8,6.
Este último número es próximo a 7, así que ya tenemos elegido por qué lo dividimos: 8,6 ≈ 7 ⋅ 1,2 = 1 + 0,2.
Nuestro logaritmo es, por lo tanto, log(859) ≈ log(10) + log(10) + log(7) + log(1+0,2) ≈ 2,3 + 2,3 + 1,9 + 0,2 = 6,7.
Este resultado se desvía de log(859) ≈ 6,7558 en algo menos de un 1 %.

Tercer ejemplo: elección de los factores

Veamos otro ejemplo: el logaritmo de 9,8.

Podríamos usar como factor 7, que es el primo más próximo de nuestra colección, pero quedaría 9,8 = 7 ⋅ 1,4 y el último número, 1,4, está demasiado lejos de la unidad.
Una elección mejor es el factor 5. En efecto, 9,8 ≈ 5 ⋅ 2,0.
Por lo tanto, log(9,8) ≈ log(5) + log(2) ≈ 1,6 + 0,69 ≈ 2,3.
¡Este resultado cuadra con log(9,8) ≈ 2,2824 con una precisión mejor que el 1 %!

Cuarto ejemplo: números más pequeños que la unidad

¿Qué pasa si un número es bastante más pequeño que la unidad? Podemos dividir con algunos factores en vez de multiplicar; de acuerdo con la regla del logaritmo de un cociente, los logaritmos correspondientes a estos factores restando en vez de sumando. Para practicar, veamos qué pasa si queremos calcular el logaritmo de 0,25:

Como el número es muy pequeño, lo multiplicamos por diez para obtener algo del orden de la unidad; esto corresponde a que el factor va dividiendo, en vez de multiplicando: 0,25 = (1 ⁄ 10) ⋅ 2,5.
Seguidamente, buscamos factores. El más evidente es el 3: 2,5 ≈ 3 ⋅ 0,83 = 3 ⋅ (1−0,17).
Con esto, nuestro logaritmo es log(0,25) ≈ log[(1 ⁄ 10) ⋅ 3 ⋅ (1−0,17)] = −log(10) + log(3) + log(1−0,17) ≈ −2,3 + 1,1 − 0,17 ≈ −1,4.
¡El resultado coincide con log(0,25) ≈ −1,3863 con una precisión ligeramente mejor que el 1 %!

Quinto ejemplo: números próximos a la unidad, pero no lo bastante próximos

Los números pequeños pero no lo bastante pequeños dan algunos problemas. Tenemos que hacerlos más grandes antes de empezar a trabajar, pero esto nos obliga a restar números que pueden ser muy similares, lo que nos quita precisión. Veamos qué pasa con 1,3. Empecemos por una opción algo evidente:

Tenemos que hacer el número más grande para poder trabajar: 1,3 = 13 ⁄ 10. El logaritmo de este 10 irá restando.
Ahora tomamos como factor el número 7: 13 ≈ 7 ⋅ 1,9.
El siguiente factor es el número 2: 1,9 ≈ 2 ⋅ 1,00.
Por lo tanto, log(1,3) ≈ −log(10) + log(7) + log(2) + log(1+0,00) ≈ −2,3 + 1,9 + 0,69 + 0,00 ≈ 2,9.
Este resultado difiere de log(1,3) ≈ 0,26236 en algo más de un 10 %. Podemos hacerlo mejor.

En un caso así, lo que nos interesa es añadir sumandos para que la resta tenga poco efecto y no nos deje sin precisión. El objetivo es sacar factores pequeños para poder sumar muchas veces. El número 2 es muy conveniente para esto.

Tenemos que hacer el número más grande para poder trabajar: 1,3 = 13 ⁄ 10. El logaritmo de este 10 irá restando.
Usamos el número 2 como factor sucesivamente: 13 ≈ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 0,81 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ (1 − 0,19).
Por lo tanto, log(1,3) ≈ −log(10) + log(2) + log(2) + log(2) + log(2) + log(1−0,19) ≈ −2,3 + 0,69 + 0,69 + 0,69 + 0,69 − 0,19 = 0,27.
Este cálculo es mucho mejor que el anterior: la precisión es mejor que un 3 %.

Este cálculo puede mejorar más. Podemos conseguir un número final más próximo a la unidad si usamos otros factores.

Nos limitamos a multiplicar por 3 (es decir, el factor divide): 1,3 = (1 ⁄ 3) ⋅ 3,9.
Ahora dividimos por 2 un par de veces: 3,9 ≈ 2 ⋅ 2 ⋅ 0,98 = 2 ⋅ 2 ⋅ (1−0,02).
El resultado es, por lo tanto, log(1,3) ≈ log[(1 ⁄ 3) ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ (1−0,2)] = −log(3) + log(2) + log(2) + log(1−0,02) ≈ −1,1 + 0,69 + 0,69 −0,02 = 0,26.
¡Este resultado coincide con log(1,3) ≈ 0,26236 con una precisión mejor que el 1 %!

Podemos conseguir esta precisión tan buena a menudo porque las aproximaciones de dos cifras de todos los logaritmos básicos menos el de 7 tienen en realidad una aproximación mejor que el 1 %. El logaritmo de 3 es el que tiene mejor aproximación. El logaritmo de 7 dado con dos cifras es de peor calidad; su aproximación es algo mejor que el 2,5 %.

Categorías: Matemáticas

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