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Últimos artículos

Boeing anuncia más de 12000 despidos

2020-05-29

Boeing, una de las mayores empresas de la industria aeronáutica del mundo, ha anunciado que despedirá a más de 12000 trabajadores en Estados Unidos.

Recientemente, los problemas del 737 Max llevaron a la detención temporal de la producción de la aeronave hace unos meses con un anuncio de la intención de que esto no se tradujera en eliminación de puestos de trabajo. En abril se reanudó tímidamente la producción, pero la actual crisis sanitaria global, de forma comprensible, se ha traducido en un parón difícil de aguantar en el sector del transporte aéreo. Lo que no pudo hacer el desastre del 737 Max ha terminado causándolo una epidemia devastadora.


Categorías: Actualidad, Aeroespacio

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El modelo epidemiológico SIR (18)

2020-05-26

El modelo SIR es un modelo muy sencillo del comportamiento de una epidemia a lo largo del tiempo. Tras explicar algunas características del modelo, vimos:

Hoy vamos a ver que las soluciones siempre convergen a algún punto de equilibrio (bien el equilibrio endémico, bien el equilibrio libre de enfermedad). Para que el modelo contemplara otros comportamientos como oscilaciones periódicas o incluso caos, haría falta añadir complicaciones adicionales (parámetros variables en el tiempo, por ejemplo).

Recordemos que estamos estudiando los puntos fijos del siguiente sistema:

dS ⁄ dt = μ − (1+μR0 S Iμ S;

dI ⁄ dt = (1+μR0 S I − (1+μI.

Aparecen varios símbolos cuyo significado es el siguiente:

Posibles comportamientos a largo plazo

El sistema tiene dos dimensiones, las variables están confinadas en una región finita y las derivadas siguen funciones analíticas de las variables, así que podemos descartar comportamientos problemáticos (divergencias, caos…) y no queda más remedio que las soluciones bien acaben convergiendo a algún punto fijo, bien formen órbitas cerradas en el plano de fase (oscilen de forma periódica en el tiempo). Vamos a ver, además, que las órbitas cerradas no son posibles, lo que obliga a que las soluciones converjan a puntos fijos (el equilibrio libre de enfermedad y el equilibrio endémico).

Las órbitas cerradas no son posibles

Podemos descartar las órbitas cerradas si hacemos uso del teorema de Bendixson-Dulac con 1 ⁄ I como función de Dulac. Sea C una hipotética trayectoria cerrada dentro de la región 0 ≤ S, 0 < I, S+I ≤ 1 (luego veremos qué sucede si la curva pasa por I = 0) y sea D la región interior a este contorno. El teorema de Green dice lo siguiente:

C[(1 ⁄ I) (dS ⁄ dt) dI − (1 ⁄ I) (dI ⁄ dt) dS] = ∬D{(∂ ⁄ ∂S) [(1 ⁄ I) (dS ⁄ dt)] + (∂ ⁄ ∂I) [(1 ⁄ I) (dI ⁄ dt)]} dS dI = ∬D[−(μ ⁄ I) − (1+μR0] dS dI < 0.

Por otra parte, una trayectoria cerrada tendría que cumplir esto:

C[(1 ⁄ I) (dS ⁄ dt) dI − (1 ⁄ I) (dI ⁄ dt) dS] = ∮C(1 ⁄ I) [(dS ⁄ dt) (dI ⁄ dt) − (dI ⁄ dt) (dS ⁄ dt)] dt = 0.

Esto contradice el resultado del teorema de Green, así que no es posible. No existen trayectorias cerradas en el conjunto 0 ≤ S, 0 < I, S+I ≤ 1.

Queda ver, por supuesto, qué sucede con el contorno I = 0, 0 ≤ S ≤ 1. El sistema se reduce a dS ⁄ dt = μμ S, dI ⁄ dt, cuyas soluciones que parten desde cualquier punto del sistema estudiado bien convergen al equilibrio endémico S = 1, I = 0 cuando μ ≥ 0, bien directamente permanecen estacionarias cuando μ = 0; por lo tanto, este contorno no es parte de una órbita cerrada.

Lo visto en los anteriores párrafos hace descartar las órbitas cerradas en el espacio de fase, es decir, las soluciones periódicas en el tiempo.

Las soluciones acaban convergiendo a puntos fijos

Tras descartar otras posibilidades, vemos que no queda más remedio que las soluciones acaben convergiendo a puntos fijos.


Categorías: Matemáticas, Salud

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El modelo epidemiológico SIR (17)

2020-05-24

El modelo SIR es un modelo muy sencillo del comportamiento de una epidemia a lo largo del tiempo. Tras explicar algunas características del modelo, vimos:

Hoy vamos a ver que las soluciones del modelo siempre tienen sentido físico (es decir, no se producen cantidades imposibles de susceptibles, infectados o la combinación de ambos). Esto no significa necesariamente que el modelo tenga siempre buena capacidad predictiva, ya que asume cosas que no siempre son acertadas.

Recordemos que estamos estudiando los puntos fijos del siguiente sistema:

dS ⁄ dt = μ − (1+μR0 S Iμ S;

dI ⁄ dt = (1+μR0 S I − (1+μI.

Aparecen varios símbolos cuyo significado es el siguiente:

Las soluciones con significado físico siempre cumplen las siguientes condiciones:

En el plano S, I, esta región con sentido físico es un triángulo.

Región con sentido físico (área sombreada).
Región con sentido físico (área sombreada).

La pregunta que podemos hacernos es la siguiente: al partir de un punto dentro de la región con significado físico, ¿se mantiene la solución en ella conforme evoluciona? Veamos que en efecto, se mantiene allí.

Los susceptibles no pueden hacerse negativos

Para que sea posible pasar de S no negativo a S negativo, es necesario que se cumpla dS ⁄ dt < 0 en algún punto con S = 0. Ahora bien, se comprueba que dS ⁄ dt = μ ≥ 0 en el contorno S = 0, 0 ≤ I ≤ 1. Por lo tanto, las soluciones que parten de ese contorno o de su entorno dentro de la región con sentido físico bien van a mantenerse con S = 0, bien van a pasar a S ≥ 0. Se cumple que si se parte de cualquier punto en la región con sentido físico (incluido el contorno), la cantidad S de susceptibles nunca se hace negativa.

Los infectados no pueden hacerse negativos

Para que sea posible pasar de I no negativo a I negativo, es necesario que se cumpla en algún punto con dI ⁄ dt < 0 en S = 0. Ahora bien, se comprueba que dI ⁄ dt = 0 en el contorno I = 0, 0 ≤ S ≤ 1. Por lo tanto, cualquier solución que llegue a dicho contorno desde la región con sentido físico nunca va a a evolucionar a I < 0. Se cumple que si se parte de un punto cualquiera en la región con sentido físico (incluido el contorno), la cantidad I de infectados nunca se hace negativa.

La suma de susceptibles e infectados nunca puede superar a la población total

Para que sea posible pasar de S+I = 1 a S+I < 1, es necesario que se cumpla d(S+I) ⁄ dt > 1 en algún punto con S+I = 1. La suma S+I de susceptibles e infectados evoluciona en el tiempo en cumplimiento de d(S+I) ⁄ dt = dS ⁄ dt+dI ⁄ dt = (1−SIμI. Ahora bien, (1−SIμI = −I ≤ 0 cuando S+I = 1 y 0 ≤ I ≤ 1. Por lo tanto, cualquier solución que llegue a dicho contorno desde la región con sentido físico nunca va a a evolucionar a S+I > 1. Se cumple que si se parte de un punto cualquiera en la región con sentido físico (incluido el contorno), la suma S+I nunca supera la población total.

Conclusión: las soluciones están confinadas en la región con sentido físico

Todo lo anterior implica que si una solución pasa por un punto con sentido físico, se mantiene siempre dentro de la región con sentido físico.

Hemos ignorado la cantidad R de recuperados, pero ya se vio en anteriores artículos que d(S+I+R) ⁄ dt = 0. Por lo tanto, si se parte de una condición inicial tal que S+I+R = 1, sigue cumpliéndose S+I+R = 1 siempre. Por lo tanto, R = 1−SI ≥ 0 y R ≤ 1 en la región con sentido físico. El número de recuperados nunca es negativo y nunca supera la población total.


Categorías: Matemáticas, Salud

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Liquen

2020-05-23

Tengo una lente de efectos especiales que encuentro divertida de usar de vez en cuando. La lente tiene mucha aberración esférica, que es algo que habitualmente es poco deseable, pero que a ciertos motivos les confiere un brillo misterioso y mágico. Aquí está una prueba realizada con un liquen que crecía en la corteza de un árbol hace unos meses.

Fotografía de un liquen tomada con una lente de
          efectos especiales.
Fotografía de un liquen tomada con una lente de efectos especiales. Más grande.


Categorías: Fotografía

Permalink: http://sgcg.es/articulos/2020/05/23/liquen/

El modelo epidemiológico SIR (16)

2020-05-20

El modelo SIR es un modelo muy sencillo del comportamiento de una epidemia a lo largo del tiempo. Tras explicar algunas características del modelo, vimos:

Hoy investigaremos la naturaleza del equilibrio endémico.

Recordemos que estamos estudiando los puntos fijos del siguiente sistema:

dS ⁄ dt = μ − (1+μR0 S Iμ S;

dI ⁄ dt = (1+μR0 S I − (1+μI.

Aparecen varios símbolos cuyo significado es el siguiente:

El equilibrio endémico es el siguiente punto:

S = 1 ⁄ R0, I = [μ ⁄ (1+μ)] [(R0−1) ⁄ R0].

Como tanto R0 como μ solamente tienen sentido físico cuando tienen valores no negativos, para que haya equilibrio endémico con una cantidad de infectados positiva es necesario que R0 ≥ 1. que μ > 0.

Las derivadas temporales se anulan en el punto de equilibrio endémico. La matriz jacobiana tiene los autovalores:

Como partimos de R0 > 1 y μ > 0, la parte real de los autovalores siempre es negativa y, por lo tanto, el equilibrio endémico es estable. La naturaleza precisa del punto de equilibrio endémico depende de si los autovalores son reales o tienen parte imaginaria no nula, que a su vez depende de la relación de R0 y μ:

La siguiente figura muestra un ejemplo del lugar geométrico de los autovalores del jacobiano en el equilibrio endémico cuando se varía R0 con un valor de μ fijo:

Lugar geométrico de los autovalores del jacobiano en el
          equilibrio endémico.
Lugar geométrico de los autovalores del jacobiano en el equilibrio endémico.

Echemos un vistazo a este lugar geométrico de los autovalores:


Categorías: Matemáticas, Salud

Permalink: http://sgcg.es/articulos/2020/05/20/el-modelo-epidemiologico-sir-16/

Evolución del reparto izquierda/derecha en la Asamblea de Madrid

2020-05-18

Solamente por las risas, como ya hicimos con el Ayuntamiento de Madrid, vamos a ver cómo ha evolucionado el reparto de escaños de la Asamblea de Madrid en las burdas categorías de «izquierda» y «derecha» a lo largo de las últimas décadas. Igual que hicimos entonces, usaremos una torpe y arbitraria clasificación en la que consideraremos izquierdas los partidos normalmente clasificados como de izquierda y de centro izquierda (sopas de letras que incluyen variaciones de PSOE, PCE, CDS —que en 1987, la vez que consiguió representación con 17 escaños, estaba entre centro izquierda y centro derecha—, IU, Podemos y Más Madrid) y consideraremos derechas los partidos normalmente clasificados como de derecha y de centro derecha (sopas de letras que incluyen variaciones de AP, PP, UPyD, Ciudadanos y Vox). ¡Esta clasificación es discutible! Sea como sea, sigue una tabla con los resultados electorales:

Reparto en los grupos «de izquierdas» y «de derechas» de escaños en las elecciones a la Asamblea de Madrid a lo largo de las últimas décadas.
Año Escaños «de izquierdas» Escaños «de derechas»
19836034
19876432
19915447
19954954
19994755
20035655
20035457
20075367
20114980
20156465
20196468

De forma gráfica, la evolución de la proporción de escaños queda como sigue:

Evolución de la proporción de escaños en la Asamblea de
          Madrid entre «izquierdas» y «derechas».
Evolución de la proporción de escaños en la Asamblea de Madrid entre «izquierdas» y «derechas».

Puede verse que la Comunidad de Madrid ni es abrumadoramente «roja» ni es abrumadoramente «facha».


Categorías: Madrid

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Gato con mascarilla

2020-05-15

Hoy parece un día excelente para dibujar gatitos, así que aquí tenéis uno:

Dibujo de un gato con mascarilla.
Imagen PNG en paleta de 256 colores, 640 píxeles de ancho y 480 píxeles de alto, 25 kB.


Categorías: Dibujos

Permalink: http://sgcg.es/articulos/2020/05/15/gato-con-mascarilla/

El modelo epidemiológico SIR (15)

2020-05-12

El modelo SIR es un modelo muy sencillo del comportamiento de una epidemia a lo largo del tiempo. Tras explicar algunas características del modelo, vimos:

Hoy investigaremos la naturaleza del equilibrio libre de enfermedad.

Recordemos que estamos estudiando los puntos fijos del siguiente sistema:

dS ⁄ dt = μ − (1+μR0 S Iμ S;

dI ⁄ dt = (1+μR0 S I − (1+μI.

Aparecen varios símbolos cuyo significado es el siguiente:

El equilibrio libre de enfermedad es el siguiente punto:

S = 1, I = 0.

Las derivadas temporales se anulan en este punto. La matriz jacobiana tiene los autovalores:

Veamos qué sucede cuando μ > 0, que es la situación interesante con natalidad y mortalidad no nulas. En esta situación, el primer autovalor es siempre positivo independientemente de R0, mientras que el segundo cambia de signo al variar R0. En función de R0, el punto de equilibrio es como sigue:


Categorías: Matemáticas, Salud

Permalink: http://sgcg.es/articulos/2020/05/12/el-modelo-epidemiologico-sir-15/

El modelo epidemiológico SIR (14)

2020-05-09

El modelo SIR es un modelo muy sencillo del comportamiento de una epidemia a lo largo del tiempo. Tras explicar algunas características del modelo, vimos:

Hoy identificaremos los puntos fijos o puntos de equilibrio del sistema referido a los susceptibles y los infectados.

Recordemos que el modelo sigue a lo largo del tiempo t la evolución de la población susceptible S(t), la población infectada I(t) y la población recuperada (inmune) R(t) mediante el siguiente sistema dinámico:

dS ⁄ dt = μ Nβ S I ⁄ Nμ S;

dI ⁄ dt = β S I ⁄ Nγ Iμ I;

dR ⁄ dt = γ Iμ R.

Aparecen varios símbolos cuyo significado es el siguiente:

Para estudiar cualitativamente cómo se comporta el modelo en función de los parámetros, podemos tomar N como unidad de población (de manera N = 1 en las ecuaciones y trabajamos con proporciones sobre la población total como en los primeros artículos) y γ−1 como unidad de tiempo (de manera que γ = 1 en las ecuaciones). Este escalado de los parámetros es razonable en todas las situaciones físicamente posibles salvo en el caso degenerado de una enfermedad sin posible recuperación (γ = 0, que sería el modelo SI, sin estado R). Las ecuaciones quedan un poco más sencillas:

dS ⁄ dt = μ − (1+μR0 S Iμ S;

dI ⁄ dt = (1+μR0 S I − (1+μI.

Como S + I + R = 1, el modelo es realmente bidimensional y no tridimensional, así que hemos obviado la variable R por ser redundante.

Las ecuaciones tienen dos puntos fijos en los que ni S ni I varían:

S = 1, I = 0;

S = 1 ⁄ R0, I = [μ ⁄ (1+μ)] [(R0−1) ⁄ R0].

El primer punto fijo es el equilibrio libre de enfermedad: toda la población permanece infectada. El segundo punto fijo es el equilibrio endémico: los nuevos susceptibles que tras nacer se infectan equilibran las muertes y recuperaciones. En los próximos artículos exploraremos la naturaleza de estos puntos fijos; hoy es suficiente localizarlos.

El equilibrio libre de enfermedad no se mueve con los parámetros. El equilibrio endémico sí se mueve, pero es evidente que lo hace en la siguiente recta:

I = [μ ⁄ (1+μ)] (1−S).

El equilibrio endémico solamente tiene sentido físico cuando el ritmo reproductivo es igual o mayor que la unidad. Los susceptibles parten de ser toda la población a anularse cuando el ritmo reproductivo básico tiende a infinito. Los infectados parten de ser nulos a ser [μ ⁄ (1+μ)] cuando el ritmo reproductivo básico tiende a infinito.

Equilibrio endémico frente al ritmo reproductivo básico para
          cierto valor de la tasa de natalidad y mortalidad.
Equilibrio endémico frente al ritmo reproductivo básico para cierto valor de la tasa de natalidad y mortalidad.

Lugar geométrico del equilibrio endémico para distintos
     valores de la tasa de natalidad y mortalidad.
Lugar geométrico del equilibrio endémico para distintos valores de la tasa de natalidad y mortalidad.


Categorías: Matemáticas, Salud

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El modelo epidemiológico SIR (13)

2020-05-04

El modelo SIR es un modelo muy sencillo del comportamiento de una epidemia a lo largo del tiempo. Tras explicar algunas características del modelo, vimos:

Hoy veremos cómo extraer el ritmo reproductivo básico del modelo con natalidad y mortalidad en equilibrio.

Recordemos que el modelo sigue a lo largo del tiempo t la evolución de la población susceptible S(t), la población infectada I(t) y la población recuperada (inmune) R(t) mediante el siguiente sistema dinámico:

dS ⁄ dt = μ Nβ S I ⁄ Nμ S;

dI ⁄ dt = β S I ⁄ Nγ Iμ I;

dR ⁄ dt = γ Iμ R.

Aparecen varios símbolos cuyo significado es el siguiente:

El ritmo reproductivo básico es el número de contagios que genera el primer sujeto infectado. En este modelo, hablar del primer sujeto infectado es lo mismo que hablar de S(0) ≅ N, I(0) ≪ N, R(0) = 0. Linealicemos el comportamiento de los infectados alrededor de este estado inicial:

dI ⁄ dtβ Iγ Iμ I.

Hagamos un seguimiento exclusivo del primer infectado. Para ello, tenemos que ignorar el término de nuevos contagios β I. Con abuso de notación, nuestro «paciente cero» evoluciona cumpliendo la ley siguiente:

dI ⁄ dt ≅ −γ Iμ I.

Con esta ecuación, la evolución a partir de I(0) es como sigue:

I(t) ≅ I(0) e−(γ+μt.

Así decae esta visión del caso inicial que tiene el modelo. Esta infección inicial genera β I nuevos contagios por unidad de tiempo, con lo que los nuevos contagios generados por la infección inicial son

R0 I(0) = ∫0≤t<∞β I(t) dt = [β ⁄ (γ+μ)] I(0).

Por lo tanto, el ritmo reproductivo básico es

R0 = β ⁄ (γ+μ).

La generalización de este razonamiento es el método de la matriz de próxima generación, por cierto, que sirve para asignar un ritmo reproductivo básico a modelos compartimentales de forma muy general.


Categorías: Matemáticas, Salud

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