SGCG

…esto no es un subtítulo…

Ir a: contenido categorías calendario archivo suscripción

Volver arriba

Últimos artículos

El modelo epidemiológico SIR (7)

2020-04-06

El modelo SIR es un modelo muy sencillo del comportamiento de una epidemia a lo largo del tiempo. Tras explicar algunas características del modelo, vimos:

Hoy estudiaremos el comportamiento de la epidemia en el entorno del pico de contagios.

Recordemos que el modelo sigue a lo largo del tiempo t la evolución de la proporción de susceptibles S(t), la proporción de infectados I(t) y la proporción de recuperados (inmunes y fallecidos) R(t) mediante el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias:

dS ⁄ dt = −(R0 ⁄ tIS I;

dI ⁄ dt = (R0 ⁄ tIS I − (1 ⁄ tII;

dR ⁄ dt = (1 ⁄ tII.

El parámetro R0 es el ritmo reproductivo básico: el número medio de contagios por infectado cuando toda la población es susceptible. El parámetro tI es el tiempo medio que permanece un paciente infectado.

De acuerdo con el modelo elemental SIR, el número de infectados simultáneos crece inicialmente hasta alcanzar un máximo y, después, cae hasta anularse. Este máximo se produce cuando transcurre un tiempo tm desde el instante inicial t = 0; de acuerdo con lo visto hace unos días, las variables quedan así en el máximo:

S(tm) = 1 ⁄ R0;

I(tm) = I(0) + S(0) − 1 ⁄ R0 − (1 ⁄ R0) log[R0 S(0)];

R(tm) = (1 ⁄ R0) log[R0 S(0)] + R(0).

Los primeros términos del desarrollo en serie de Taylor nos permiten examinar el comportamiento del sistema en el entorno del máximo de infecciones:

S(t) ≅ S(tm) + (dS ⁄ dt)(tm) (ttm) = S(tm) [1 − (R0 ⁄ tII(tm) (ttm)].

I(t) ≅ I(tm) + (1 ⁄ 2) (d2I ⁄ dt2)(tm) (ttm)2 = I(tm) {1 − (1 ⁄ 2) (R0 ⁄ tI)2 S(tm) [I(tm)]2 (ttm)2};

R(t) ≅ R(tm) + (dR ⁄ dt)(tm) (ttm) = R(tm) + (1 ⁄ tII(tm) (ttm).

Tanto los susceptibles como los recuperados quedan aproximados mediante una recta; los infectados quedan aproximados mediante una parábola. Si tomamos más términos del desarrollo en serie, podemos deducir más información:


Categorías: Matemáticas, Salud

Permalink: http://sgcg.es/articulos/2020/04/06/el-modelo-epidemiologico-sir-7/

El ritmo reproductivo básico no es en general lo que crecen los enfermos de un día a otro

2020-04-04

Estamos en medio de una preocupante epidemia y la situación se hace llevadera hablando de epidemiología. El incauto lector que haya pasado por esta página el último mes puede ver un ejemplo de ello. ¡Es potencialmente beneficioso! Ahora bien, hay que evitar esparcir desinformación y los errores. Un error de concepto que estoy viendo con cierta frecuencia es la confusión entre el ritmo reproductivo básico de una epidemia (R0) y lo que crece el número de casos de un día para otro. El ritmo reproductivo básico, la famosa R0, es el número esperado de contagios que provoca directamente un infectado cuando el resto de la población son susceptibles al contagio. Por lo tanto, por norma general, la razón entre el número de casos un día y el número de casos el día anterior no ha de coincidir con el ritmo reproductivo básico. Serían esencialmente lo mismo solamente en infecciones que duran un día y se extienden lentamente. Es fácil estimar la relación entre R0 y el ritmo diario de crecimiento con un modelo compartimental elemental. La diferencia se hace evidente si imaginamos, por decir algo, una nueva enfermedad en la cada caso contagia a otras 5 personas tras 15 días; en esta situación, a pesar de que R0 es 5, los contagios se multiplican por más o menos 1,3 cada día al comienzo de la epidemia, que es algo muy alejado de quintuplicar los casos (y, de igual manera, no puede decirse que R0 sea 1,3).


Categorías: Salud

Permalink: http://sgcg.es/articulos/2020/04/04/el-ritmo-reproductivo-basico-no-es-en-general-lo-que-crecen-los-enfermos-de-un-dia-a-otro/

Estado del patinaje artístico sobre hielo como consecuencia de la actual situación epidémica

2020-03-30

Con motivo de la actual pandemia de enfermedad por coronavirus de 2019-2020, muchas actividades económicas y sociales se han visto interrumpidas. Los deportes en general son una de ellas. Como en esta página hacemos un seguimiento especial del patinaje artístico sobre hielo, vamos a hacer un repaso de cómo afecta la situación a este deporte en España:


Categorías: Actualidad, Deporte, Salud

Permalink: http://sgcg.es/articulos/2020/03/30/estado-del-patinaje-artistico-sobre-hielo-como-consecuencia-de-la-actual-situacion-epidemica/

El modelo epidemiológico SIR (6)

2020-03-23

El modelo SIR es un modelo muy sencillo del comportamiento de una epidemia a lo largo del tiempo. Tras explicar algunas características del modelo, vimos cómo simplificar el modelo para analizar el comienzo de la propagación de una nueva epidemia, así como el comportamiento de la proporción de infectados en esta fase inicial, cómo relacionar las variables sin necesidad de integrar en el tiempo y cómo calcular el máximo número de infectados simultáneos. Hoy veremos cómo calcular el resultado final de la epidemia.

Recordemos que el modelo sigue a lo largo del tiempo t la evolución de la proporción de susceptibles S(t), la proporción de infectados I(t) y la proporción de recuperados (inmunes y fallecidos) R(t) mediante el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias:

dS ⁄ dt = −(R0 ⁄ tIS I;

dI ⁄ dt = (R0 ⁄ tIS I − (1 ⁄ tII;

dR ⁄ dt = (1 ⁄ tII.

El parámetro R0 es el número medio de contagios por infectado cuando toda la población es susceptible y el parámetro tI es el tiempo medio que permanece un paciente infectado.

La epidemia acaba tras un tiempo infinito con S(∞) susceptibles no contagiados, R(∞) recuperados o inmunes (es decir, gente que en algún momento pasó por la infección o tenía inmunidad de antemano) y ningún infectado: I(∞) = 0. Esto significa lo siguiente:

S(∞) + R(∞) = 1.

Gracias a las relaciones que calculamos en un artículo previo, podemos escribir la anterior relación en función de una de las variables:

S(0) eR0 [R(∞)−R(0)] + R(∞) = 1.

Igual que en otras ocasiones, es posible simplificar la expresión en el caso de una epidemia en la que se parte de un número muy pequeño de infectados y el resto de la población inicial es susceptible: S(0) ≅ 1, I(0) ≪ 1, R(0) ≅ 0. La máxima proporción de infectados simultáneos queda de la siguiente forma:

eR0 R(∞) + R(∞) ≅ 1.

El valor de R(∞) que satisface esta ecuación trascendente es la proporción de la población que en un momento u otro contrae la infección en este escenario simplificado. La siguiente curva ilustra esta solución simplificada:

Proporción acumulada de infecciones frente al ritmo
          reproductivo básico.
Proporción acumulada de infecciones frente al ritmo reproductivo básico (R0 en las ecuaciones).

Cuando no hay inmunidad, basta un ritmo de reproducción moderado para que la mayor parte de la población contraiga la infección. Ahora bien, este modelo elemental no diferencia entre casos que necesitan atención sanitaria y casos leves que pasan desapercibidos.


Categorías: Matemáticas, Salud

Permalink: http://sgcg.es/articulos/2020/03/23/el-modelo-epidemiologico-sir-6/

El modelo epidemiológico SIR (5)

2020-03-22

El modelo SIR es un modelo muy sencillo del comportamiento de una epidemia a lo largo del tiempo. Tras explicar algunas características del modelo, vimos cómo simplificar el modelo para analizar el comienzo de la propagación de una nueva epidemia, así como el comportamiento de la proporción de infectados en esta fase inicial y cómo relacionar las variables sin necesidad de integrar en el tiempo. Hoy veremos cómo estimar el máximo número de infectados simultáneos, que es una magnitud importante a comparar con la capacidad de los servicios sanitarios.

Recordemos que el modelo sigue a lo largo del tiempo t la evolución de la proporción de susceptibles S(t), la proporción de infectados I(t) y la proporción de recuperados (inmunes y fallecidos) R(t) mediante el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias:

dS ⁄ dt = −(R0 ⁄ tIS I;

dI ⁄ dt = (R0 ⁄ tIS I − (1 ⁄ tII;

dR ⁄ dt = (1 ⁄ tII.

El parámetro R0 es el número medio de contagios por infectado cuando toda la población es susceptible y el parámetro tI es el tiempo medio que permanece un paciente infectado.

Asumamos que los parámetros son constantes. Vimos que el número de infectados crece inicialmente de forma exponencial siempre que R0 > 1. Ahora bien, el ritmo de crecimiento comienza a frenarse en algún momento hasta que se anula y, finalmente, desciende el número de infectados simultáneos. El máximo de infectados simultáneos se produce cuando el ritmo de crecimiento se anula:

dI ⁄ dt = 0 = (R0 ⁄ tIS I − (1 ⁄ tII.

No interesa la solución trivial I = 0, que corresponde a un mundo sin infectados y, por lo tanto, un mundo en el que nadie puede contagiar a nadie. La solución interesante se da, por lo tanto, cuando

0 = (R0 ⁄ tIS − (1 ⁄ tI).

De esto se deduce que, en el máximo de infectados simultáneos, la población susceptible queda reducida a

S = 1 ⁄ R0.

El número de infectados se deduce las relaciones del anterior artículo:

I = I(0) + S(0) − 1 ⁄ R0 − (1 ⁄ R0) log[RS(0)].

Igual que en otras ocasiones, es posible simplificar la expresión en el caso de una epidemia en la que se parte de un número muy pequeño de infectados y el resto de la población inicial es susceptible: S(0) ≅ 1, I(0) ≪ 1, R(0) ≅ 0. La máxima proporción de infectados simultáneos queda de la siguiente forma:

I ≅ 1 − 1 ⁄ R0 − (1 ⁄ R0) log(R0).

La siguiente curva ilustra esta solución simplificada:

Máxima proporción de infectados simultáneos frente al ritmo
          reproductivo básico.
Máxima proporción de infectados simultáneos frente al ritmo reproductivo básico (R0 en las ecuaciones).

Cuando no hay inmunidad, la máxima proporción de infectados alcanza niveles muy elevados con valores moderados del ritmo de reproducción. Ahora bien, este modelo elemental no diferencia entre casos que necesitan atención sanitaria y casos leves.

La figura es muy interesante. La parte derecha de la curva corresponde a un brote de sarampión en una población sin inmunidad que no toma ninguna medida para frenar los contagios: no es que casi toda la población acabe infectada, es que la mayor parte de la población acaba infectada simultáneamente.


Categorías: Matemáticas, Salud

Permalink: http://sgcg.es/articulos/2020/03/22/el-modelo-epidemiologico-sir-5/

El modelo epidemiológico SIR (4)

2020-03-20

El modelo SIR es un modelo muy sencillo del comportamiento de una epidemia a lo largo del tiempo. Tras explicar algunas características del modelo, vimos cómo simplificar el modelo para analizar el comienzo de la propagación de una nueva epidemia, así como el comportamiento de la proporción de infectados en esta fase inicial. Hoy veremos cómo relacionar las variables sin necesidad de integrar en el tiempo.

Recordemos que el modelo sigue a lo largo del tiempo t la evolución de la proporción de susceptibles S(t), la proporción de infectados I(t) y la proporción de recuperados (inmunes y fallecidos) R(t) mediante el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias:

dS ⁄ dt = −(R0 ⁄ tIS I;

dI ⁄ dt = (R0 ⁄ tIS I − (1 ⁄ tII;

dR ⁄ dt = (1 ⁄ tII.

El parámetro R0 es el número medio de contagios por infectado cuando toda la población es susceptible y el parámetro tI es el tiempo medio que permanece un paciente infectado.

Si los parámetros son constantes, el sistema es autónomo y muy fácil de analizar. Podemos relacionar las variables entre sí sin necesidad de conocer la evolución temporal. Del sistema de ecuaciones original se deduce el siguiente:

dI ⁄ dS = −1 + 1 ⁄ (R0 S);

dR ⁄ dS = −1 ⁄ (R0 S).

Basta integrar para obtener las relaciones entre las variables:

I(t) − I(0) = S(0) − S(t) + (1 ⁄ R0) log[S(t) ⁄ S(0)];

R(t) − R(0) = −(1 ⁄ R0) log[S(t) ⁄ S(0)].

Otra forma de escribir las anteriores ecuaciones es la siguiente:

I(t) − I(0) = S(0) {1 − eR0 [R(t)−R(0)]} − R(t) + R(0);

S(t) = S(0) eR0 [R(t)−R(0)].

Las relaciones están definidas siempre que S(t) ≤ S(0), I(t) ≥ 0 y R(t) ≥ R(0).

Las relaciones se simplifican especialmente en el caso de una epidemia en la que se parte de un número muy pequeño de infectados y el resto de la población inicial es susceptible: S(0) ≅ 1, I(0) ≪ 1, R(0) ≅ 0. En tal situación, las ecuaciones tienden a la siguiente forma:

I(t) ≅ 1 − eR0 R(t)R(t);

S(t) ≅ eR0 R(t).

Las siguientes curvas ilustran esta solución simplificada:

Infectados frente a recuperados.
Infectados frente a recuperados.

Susceptibles frente a recuperados.
Susceptibles frente a recuperados.


Categorías: Matemáticas, Salud

Permalink: http://sgcg.es/articulos/2020/03/20/el-modelo-epidemiologico-sir-4/

El modelo epidemiológico SIR (3)

2020-03-18

El modelo SIR es un modelo muy sencillo del comportamiento de una epidemia a lo largo del tiempo. Tras explicar algunas características del modelo, vimos cómo simplificar el modelo para analizar el comienzo de la propagación de una nueva epidemia. Quedó pendiente un detalle sobre el comportamiento de la proporción de infectados en esta fase inicial.

Recordemos que, al comienzo de una nueva epidemia para la que no hay inmunidad y, por lo tanto, toda la población es susceptible, la proporción de personas infectadas I(t) en función del tiempo transcurrido t queda aproximada de la siguiente manera:

dI ⁄ dt ≅ [(R0−1) ⁄ tII.

El parámetro R0 es el número medio de contagios por infectado cuando toda la población es susceptible y el parámetro tI es el tiempo medio que permanece un paciente infectado.

En un intervalo de tiempo t, la cantidad de infectados crece proporcionalmente a sí misma de la siguiente manera:

I(t+∆t) ⁄ I(t) = e[(R0−1) ⁄ tI] ∆t.

Si trazamos la curva de la proporción de infectados frente al tiempo con una escala logarítmica para la proporción de infectados y esta curva queda bien aproximada por una recta, podemos introducir la pendiente de dicha recta en la expresión anterior para deducir el valor de (R0−1) ⁄ tI.

Evolución temporal de los infectados en una epidemia (escala
     logarítmica).
Evolución temporal de los infectados en una epidemia (escala logarítmica).

Por ejemplo, si nos sale que el número de infectados crece un 33 % diario, sabemos que 1,33 = e[(R0−1) ⁄ tI] 1 día, con lo que R0−1) ⁄ tI = log(1,33) ⁄ día. La siguiente gráfica muestra la relación:

Factor de crecimiento exponencial frente a la tasa diaria de
     crecimiento del número de infectados.
Factor de crecimiento exponencial frente a la tasa diaria de crecimiento del número de infectados.

Lo anterior es para los infectados. A menudo, la información que está disponible es la cantidad acmulada de casos, que sería la suma del número de infectados y el número de recuperados (inmunes y fallecidos) si todos los casos estuvieran detectados. Con toda la incertidumbre presente, una aproximación a partir de los casos detectados acumulados es razonable.


Categorías: Matemáticas, Salud

Permalink: http://sgcg.es/articulos/2020/03/18/el-modelo-epidemiologico-sir-3/

El modelo epidemiológico SIR (2)

2020-03-17

El modelo SIR es un modelo muy sencillo del comportamiento de una epidemia a lo largo del tiempo. Ayer vimos algunas características del modelo. Hoy veremos cómo simplificar el modelo para analizar el comienzo de la propagación de una nueva epidemia.

Recordemos que el modelo sigue a lo largo del tiempo t la evolución de la proporción de susceptibles S(t), la proporción de infectados I(t) y la proporción de recuperados (inmunes y fallecidos) R(t) mediante el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias:

dS ⁄ dt = −(R0 ⁄ tIS I;

dI ⁄ dt = (R0 ⁄ tIS I − (1 ⁄ tII;

dR ⁄ dt = (1 ⁄ tII.

El parámetro R0 es el número medio de contagios por infectado cuando toda la población es susceptible y el parámetro tI es el tiempo medio que permanece un paciente infectado.

En una nueva epidemia para la que nadie cuenta con inmunidad, se parte de una situación inicial S(0) ≅ 1, I(0) ≪ 1, R(0) ≅ 0, es legítimo linealizar las ecuaciones a partir de la condición inicial, lo que permite analizar exclusivamente la proporción de infectados:

dI ⁄ dt ≅ [(R0−1) ⁄ tII.

Esto nos deja con la siguiente expresión para I(t):

I(t) ≅ I(0) e[(R0−1) ⁄ tIt.

Como es de esperar, el número de infectados crece según una ley exponencial al comienzo de la epidemia.

Evolución temporal de los enfermos en una epidemia.
Evolución temporal de los enfermos en una epidemia.

Aunque el modelo tiene dos parámetros (R0 y tI), ambos parámetros se combinan durante esta fase en solamente uno: el factor de crecimiento exponencial [(R0−1) ⁄ tI].


Categorías: Matemáticas, Salud

Permalink: http://sgcg.es/articulos/2020/03/17/el-modelo-epidemiologico-sir-2/

El modelo epidemiológico SIR (1)

2020-03-16

El modelo SIR es un modelo muy sencillo del comportamiento de una epidemia a lo largo del tiempo. Divide a la población en tres compartimentos: susceptibles de padecer una enfermedad, pacientes infectados y pacientes recuperados, inmunes y fallecidos. La evolución temporal de la población en cada uno de estos compartimentos queda modelada mediante una ecuación diferencial ordinaria que es fácil de resolver con un ordenador. Veamos con más detalle las características del modelo:

De estas características se deduce la siguiente dinámica:

dS ⁄ dt = −(R0 ⁄ tIS I;

dI ⁄ dt = (R0 ⁄ tIS I − (1 ⁄ tII;

dR ⁄ dt = (1 ⁄ tII.

Integrar estas ecuaciones a partir de una condición inicial {S(0), I(0), R(0)} permite estimar cómo puede evolucionar una epidemia.

Aunque este modelo es muy sencillo, muestra una dinámica interesante y realista con infecciones que crecen hasta alcanzar un máximo y acaban decayendo. Las hipótesis en las que se basa el modelo son cuestionables en algunas ocasiones, pero otras veces son bastante razonables.

Veremos en próximas entregas más detalles sobre este modelo. Por ahora, para causar un poco de incomodidad, he aquí un escenario a 100 días de una enfermedad muy contagiosa para la que la población no tiene inmunidad:

Evolución temporal de una epidemia.
Evolución temporal de una epidemia.


Categorías: Matemáticas, Salud

Permalink: http://sgcg.es/articulos/2020/03/16/el-modelo-epidemiologico-sir-1/

El equipo junior de patinaje sincronizado ha vuelto a casa

2020-03-14

Team Mirum, el equipo junior de patinaje sincronizado de La Nevera (Majadahonda) que competía por España en el mundial junior que se celebraba estos días en Nottingham ha regresado prematuramente a casa con motivo de la actual crisis sanitaria. Las compañeras están bien, afortunadamente.


Categorías: Actualidad, Deporte, Salud

Permalink: http://sgcg.es/articulos/2020/03/14/el-equipo-junior-de-patinaje-sincronizado-ha-vuelto-a-casa/