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Cómo estimar la función exponencial mentalmente

2014-01-07

Hoy vamos a aprender a estimar rápidamente el valor de la función exponencial con argumento real con un par de cifras significativas. En concreto, buscamos manejar errores inferiores al 5 %. Se trata de una habilidad que puede ser muy útil en trabajillos rápidos de electrónica, control térmico y otras disciplinas en las que la función exponencial aparece cada dos por tres. Muchos estudiantes que se enfrentan a exámenes sin calculadoras ni tablas de funciones (¡es para que no os volváis unos zoquetes!) pueden encontrar esta habilidad bastante útil.

Hay que considerar que la función exponencial diverge muy deprisa cuando su argumento es un número positivo de gran magnitud y converge muy rápidamente a cero cuando su argumento es un número negativo de gran valor absoluto. Por lo tanto, no podremos confiar en alcanzar la precisión propuesta si los argumentos tienen un valor absoluto grande.

Propiedades útiles de la función exponencial

Sean a y b dos números reales. La función exponencial aplicada a estos números cumple las siguientes propiedades:

• e^a+b = e^a ⋅ e^b;
• e^a ⋅ b = (e^a)^b;
• e^−a = 1 ⁄ e^a;
• e^a ≈ 1 + a con a pequeño (|a| < 0,25 es una buena cota para acabar con errores inferiores al 5 %). Esto es un desarrollo en serie de Maclaurin truncado a primer orden.
• e^a ≈ 1 + a + a² ⁄ 2 con |a| todavía pequeño, pero no tanto (|a| < 0,50 es una buena cota para acabar con errores inferiores al 5 %). Esto es un desarrollo en serie de Maclaurin truncado a segundo orden.

Algoritmo básico

Tenemos que recordar la minúscula tabla de logaritmos naturales que memorizamos para poder calcular logaritmos mentalmente. La recordamos:

• log(2) ≈ 0,69;
• log(3) ≈ 1,1;
• log(5) ≈ 1,6;
• log(7) ≈ 1,9.

De esto se deduce que log(10) ≈ 2,3, que es algo que vamos a usar mucho porque es muy conveniente al trabajar en base 10.

Con esto, podemos elaborar una lista de exponenciales:

• e^0,69 ≈ 2,0;
• e^1,1 ≈ 3,0;
• e^1,6 ≈ 5,0;
• e^1,95 ≈ 7,0;
• e^2,3 ≈ 10.

Hemos usado una aproximación más precisa del logaritmo de 7 (1,95 en vez de 1,9) para poder cuadrar las dos cifras. Alternativamente, podemos seguir usando 1,9 si el error del 5 % es lo que nos preocupa y no trabajamos con números muy grandes. Tendremos en cuenta que si aproximamos el argumento de la exponencial con un error del 5 %, el error final será superior a este 5 % en cuanto el argumento supere 2.

Nuestro algoritmo de aproximación de la función exponencial consiste en encontrar primero una potencia de diez próxima al número que queremos obtener y luego buscar un número de la tabla de exponenciales que sirva de pivote para aproximar alrededor de él.

1. Buscamos la potencia de diez más cercana: d ← múltiplo entero de 2,3 más próximo a x.
2. r ← x − 2,3 ⋅ d (es decir, el resto).
3. Si r < 0,25, como sabemos que e^r ≈ 1+r, que e^2,3 ≈ 10, que e^2,3 ⋅ d = (e^2,3)^d, que x = 2,3 ⋅ d + r y que e^{2,3 ⋅ d + r} = e^2,3 ⋅ d ⋅ e^r, aproximamos la función exponencial como e^x ≈ (1+r) ⋅ 10^d.
4. Si no, si r < 0,50, mediante el mismo razonamiento pero con una aproximación de segundo orden de e^r, e^x ≈ (1+r+0,5⋅r²) ⋅ 10^d.
5. Si no, buscamos un pivote:
   1. Sea log(n) el número más próximo a |r| de la tabla de los exponenciales (0,69, 1,1, 1,6 o 1,95, de manera que n es 2,0, 3,0, 5,0 o 7,0).
   2. Asignamos un nuevo resto para aproximar: i ← |r| − n.
   3. Por las propiedades anteriores de exponenciales de sumas y productos de exponenciales, llegamos a la aproximación:
      1. Si r es positivo, e^x ≈ n ⋅ (1+i) ⋅ 10^d.
      2. Si r es negativo, e^x ≈ (1 ⁄ n) ⋅ (1−i) ⋅ 10^d.

A veces, es muy evidente que el exponente queda expresado como una combinación lineal de 0,69, 1,1, 1,6 y 1,95 sin seguir el algoritmo anterior, así que podemos dar la solución más directamente como producto de 2, 3, 5 y 7.

Ejemplo: la exponencial de un número pequeño

La exponencial de 0,15 queda bien aproximada de la manera siguiente: e^0,15 ≈ 1 + 0,15 ≈ 1,2. El error relativo es un poco mayor que el 3 %.

Ejemplo: la exponencial de un número grande

Aproximamos la exponencial de 15 así:

1. El múltiplo de 2,3 más próximo a 15 es 16,1 = 2,3 ⋅ 7, por lo que tomamos d ← 7.
2. El resto es r ← 15 − 16,1 = −1,1. Este número no es pequeño.
3. El pivote más próximo a |r| = 1,1 es log(3,0) = 1,1, con lo que n ← 3,0.
4. No hay más incrementos que aplicar: i ← 0,0.
5. Terminamos la aproximación: e¹⁷ ≈ (1 ⁄ 3,0) ⋅ (1−0,0) ⋅ 10⁷ ≈ 3,3 ⋅ 10⁶. El pivote aparece dividiendo porque el resto era negativo. El error relativo es un poco mayor que el 0,1 %.

Ejemplo: la exponencial de otro número grande

Aproximamos la exponencial de 17 así:

1. El múltiplo de 2,3 más próximo a 17 es 16,1 = 2,3 ⋅ 7, por lo que tomamos d ← 7.
2. El resto es r ← 17 − 16,1 = −0,9. Este número no es pequeño.
3. El pivote más próximo a |r| = 0,9 es log(3,0) = 1,1, con lo que n ← 3,0.
4. El incremento es negativo: i ← 0,9 − 1,1 = −0,2.
5. Terminamos la aproximación: e¹⁷ ≈ 3,0 ⋅ [1+(−0,2)] ⋅ 10⁷ ≈ 2,4 ⋅ 10⁷. El error relativo está entre el 0,6 % y el 0,7 %.

Ejemplo: la exponencial de un número pequeño, pero no muy pequeño

Aproximamos la exponencial de 0,42.

1. El orden de magnitud es de la unidad: d ← 0.
2. El número es pequeño, pero no tan pequeño como para poder hacer el desarrollo de primer orden. Hay que ir a segundo orden: e^0,42 ≈ (1+0,42+0,5 ⋅ 0,42²) ⋅ 10⁰ ≈ 1,00 + 0,42 + 0,09 = 1,51 ≈ 1,5. Este resultado se aproxima muy bien a e^0,42 ≈ 1,5220.

Ejemplo: la exponencial de un número negativo

Vamos a calcular la exponencial de −5,0.

1. El múltiplo entero de 2,3 más próximo a −5,0 es −2 ⋅ 2,3 = 4,6, con lo que d ← −2.
2. El resto es r ← −0,4. Este número es pequeño, pero no muy pequeño.
3. Podemos hacer la aproximación de Maclaurin de segundo orden: e^−5,0 ≈ [1+(−0,4)+0,5 ⋅ (−0,4)²]⋅ ⋅10⁻² ≈ 6,8 ⋅ 10⁻³. El error relativo es inferior al 1 %.

Ejemplo: solución inmediata

Digamos que queremos calcular la exponencial de 2,7. Podríamos seguir el algoritmo, pero es más rápido hacer la aproximación si nos damos cuenta de que 2,7 = 1,1 + 1,6, con lo que e^2,7 = e^1,1+1,6 = e^1,1 ⋅ e^1,6 ≈ 3,0 ⋅ 5,0 ≈ 15. Esta solución concuerda muy bien con la más exacta e^2,7 ≈ 14,880.

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Categorías: Matemáticas

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