Teorema del transporte de Reynolds
2011-09-30
El teorema del transporte de Reynolds es una expresión matemática muy útil que relaciona integrales y derivadas y tiene grandes usos en la mecánica de medios continuos. En su aplicación a este campo, relaciona cómo varian las propiedades de una masa de control con cómo varían las propiedades de un volumen de control. ¡Un momento! ¿Qué es una masa de control y qué es un volumen de control?
- Masa de control
- Es una cierta cantidad de material a la que hacemos un seguimiento. Por lo tanto, una masa de control es un objeto físico igual que lo es una pelota, pero puede ser difícil distinguir una masa de control de su vecina (por ejemplo, es difícil distinguir una masa de agua de otra en medio del océano).
- Volumen de control
- Es un volumen al que hacemos un seguimiento. Las masas de control pueden atravesar un volumen de control. Los volúmenes de control son entidades geométricas que definimos aparte de los objetos físicos: por ejemplo, el interior de una caja es un volumen de control cuyo contenido, las masas de control que tiene dentro, puede variar con el tiempo.
Masa de control. Es un volumen de material en movimiento.
Volumen de control. Es virtual y el material lo atraviesa.
En general, el teorema del transporte de Reynolds relaciona el ritmo de variación en un dominio móvil (el de la masa de control) y un dominio fijo (el del volumen de control) o incluso entre varios volúmenes móviles. Es una generalización a dimensiones múltiples de la regla de Leibniz. En lo que sigue, usaremos volúmenes y superficies, pero en realidad el teorema es válido para dimensiones superiores e inferiores. La exposición estará centrada, sobre todo, en el concepto de la masa de control por su cómoda interpretación física.
Por qué usamos masas de control y volúmenes de control
A menudo, conocemos las leyes físicas que afectan a los objetos como las masas de control, pero poner en práctica este conocimiento puede ser muy engorroso. Por ejemplo, las ecuaciones del movimiento de una una masa de control de aire (las leyes de Newton y de conservación de la energía), aunque son conceptualmente muy sencillas, se vuelven muy difíciles de integrar porque la masa de control puede desplazarse mucho y acabar en cualquier parte. Como las ecuaciones del movimiento dependen de las masas de aire del entorno (lo hacen a través de la presión y los esfuerzos viscosos, por ejemplo) y estas masas de aire pueden cambiar mucho a cada momento, no es de extrañar que la tarea de calcular el comportamiento del aire (o el medio que sea) pueda volverse algo formidable con esta formulación.
Las partículas vecinas de una masa de control pueden venir de
cualquier lugar y son muy difíciles de seguir.
Ahora imaginemos un volumen cualquiera, fijo o con un movimiento cómodo de manejar. Este volumen es un volumen de control y las masas de control pueden, en general, atravesarlo. Si pudiéramos referir las ecuaciones del movimiento no a las masas de control, sino al volumen de control, nuestros problemas quizá se volverían más fáciles de tratar. El teorema del transporte de Reynolds hace esto.
Propiedades extensivas y propiedades intensivas
Cojamos una masa de control cualquiera. En un instante
de tiempo t, la masa de
control tiene unas propiedades (cantidad de movimiento, masa,
energía interna…). Diremos que estas propiedades
son Cm(t).
Ahora bien, la masa de control ocupa un cierto volumen Vm(t).
Podemos suponer que la propiedad C(t), que llamaremos
extensiva, es la suma de una propiedad intensiva
c(t,x)
distribuida por los puntos x
del espacio ocupado por la masa de control:
Cm(t) = ∫∫∫Vm(t) c(t,x) dV.
En la anterior integral, el símbolo dV indica el elemento diferencial de
volumen.
Ritmo de variación de las propiedades de una masa de control
Las masas de control son objetos físicos normales y corrientes
como pelotas, bolígrafos y gotas de agua. Sus propiedades Cm(t) tienen un ritmo
de variación con el tiempo t que
es igual a un término forzante o fuente (la fuerza para la cantidad
de movimiento, por ejemplo) F:
dCm ⁄ dt = F.
Aunque no hemos escrito explícitamente las dependencias funcionales, el término forzante F variará, en general, con el tiempo, la región del espacio ocupada por la masa de control y la distribución de las variables físicas en el espacio y el tiempo. Esta distribución de las variables físicas estará determinada por cómo se hayan movido las masas de control (¡partícula por partícula!), así que el seguimiento se vuelve muy poco práctico.
Llega el teorema del transporte de Reynolds
Ahora, supongamos que tenemos un volumen de control fijo
V que en el preciso instante
t coincide con el volumen
Vm(t)
ocupado por la masa de control:
V = Vm(t).
La frontera del volumen de control es la superficie S.
Podemos integrar las variables intensivas c(t,x) en
este volumen para obtener las variables extensivas Cv(t) correspondientes:
Cv(t) = ∫∫∫V c(t,x) dV.
Un cortísimo instante más tarde, en el tiempo t+dt, los dos volúmenes no tienen por qué coincidir. Por lo tanto, el ritmo de variación de las variables extensivas en el volumen de control no tiene por qué coincidir con el ritmo de variación de las variables extensivas en la masa de control. Ahora bien, podemos relacionarlos.
Cada punto x de la
frontera de la masa de control se desplaza a una velocidad v(t,x).
La dirección normal (hacia el exterior) a la frontera
del volumen de control es el vector unitario n(x).
Por lo tanto, la velocidad normal vn(x)
a la que se separa la frontera de la masa de control de la del volumen
de control es
vn(t,x) = v(t,x) ⋅ n(x).
La frontera de la masa de control entra dentro del volumen de
control cuando la anterior expresión es negativa y sale cuando
es positiva.
Velocidad normal a la frontera.
Cierta parte de la masa de control sale del volumen de
control, mientras que otra parte entra. Fijémonos en un punto
x de la frontera del
volumen de control. Definamos un elemento diferencial de
superficie de frontera dS
alrededor de este punto. Como el incremento de tiempo dt es extremadamente pequeño,
podemos despreciar cualquier variación de la velocidad v(t,x)
a la que se desplaza la frontera de la masa de control entre el
instante t y el instante t+dt. En este tiempo, habrá
entrado dentro del volumen de control una pequeña cantidad de material
de volumen
−vn(x) dt dS.
El signo negativo se debe a que, si la velocidad relativa es
negativa, el material entra, mientras que, si la velocidad relativa
es positiva, el material sale. Esta pequeña cantidad de material que
entra o sale lleva consigo cierta cantidad extensiva de propiedades
físicas:
−vn(x) dt dS c(t,x).
La suma (la integral) de esta contribución por toda la
superficie de la frontera del volumen de control será igual a
la cantidad de las variables extensivas que habrá entrado menos
la que habrá entrado en el volumen de control en el intervalo
de tiempo entre t y t+dt:
−dt ∫∫S c(t,x) vn(x) dS.
Elemento de una masa de control que atraviesa un volumen de
control. Equivale a la región barrida por un elemento de área en
su desplazamiento normal a la frontera en un corto intervalo de tiempo.
Con todo lo que sabemos, ya podemos relacionar el ritmo de
variación en la masa de control y el ritmo de variación en el volumen
de control. En concreto, el incremento en la variable extensiva Cv en el volumen de control
Cm en la masa de control
(que coincide en el espacio con el volumen de control en el instante
de interés) más lo que entra y menos lo que sale:
dCv(t) = dCm(t) − dt ∫∫S c(t,x) vn(t) dS.
Por otra parte, el ritmo de variación en el volumen de control
ha de ser igual a la suma (la integral) de los ritmos de variación
en su interior:
dCv(t) ⁄ dt = ∫∫∫V ∂(c ⁄ ∂t)(t,x) dV.
Juntémoslo todo y operemos mínimamente para mejorar el aspecto
estético del resultado. Nos queda la ecuación del transporte de
Reynolds:
(d⁄dt) ∫∫∫Vm(t) c(t,x) dV = ∫∫∫V (∂c⁄∂t)(t,x) dV + ∫∫S c(t,x) vn(x) dS.
El término de la izquierda de la igualdad es el ritmo de variación
dCm ⁄ dt
de las propiedades de la masa de control, igual al término forzante
F que vimos antes, pero ahora todo
es potencialmente más fácil porque usamos variables referidas no a
partículas materiales móviles, sino a puntos fijos del espacio.
Varios volúmenes móviles
En ninguna parte de las ecuaciones anteriores aparece el requisito de que el volumen móvil sea el ocupado por un objeto material. El volumen móvil puede ser un volumen de control cualquiera.
Si aplicamos el teorema del transporte de
Reynolds a dos volúmenes de control móviles V1(t) y V2(t) tales que ambos
coinciden en el preciso instante t
con el volumen de control fijo V,
obtenemos la siguiente relación:
(d⁄dt) ∫∫∫V1(t) c(t,x) dV
= (d⁄dt) ∫∫∫V2(t) c(t,x) dV)
+ ∫∫S c(t,x) [v1(t,x) − v2(t,x)] ⋅ n(x) dS.
Esta expresión es útil, por ejemplo, a la hora de tratar problemas
con frontera móvil tales como el comportamiento del fluido en el
interior de un motor alternativo.
Categorías: Física, Matemáticas
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