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Forma rápida pero poco rigurosa de derivar la ecuación de Klein-Gordon

2013-01-10

La ecuación de Klein-Gordon es un modelo muy útil para predecir el comportamiento cuántico relativista de algunas partículas al igual que la ecuación de Schrödinger lo es en el límite no relativista. Es de buena aplicación a la hora de describir partículas escalares y pseudoescalares: bosones de espín nulo como el pion. Igual que vimos cómo inventarnos sobre la marcha la ecuación de Schrödinger, haremos lo propio con la ecuación de Klein-Gordon. Las ideas fundamentales están explicadas en el artículo sobre la ecuación de Schrödinger, así que hoy iremos más deprisa.

Expresión de la energía total

La ecuación de Klein-Gordon está pensada para el caso relativista, así que usaremos la expresión de la energía de la relatividad especial:

E² = (m c²)² + p ⋅ p c².

Esta vez, no añadimos energía potencial. La energía es el símbolo E, mientras que el símbolo p indica la cantidad de movimiento, el símbolo m es la masa y el símbolo c es la velocidad de la luz.

Ondas planas

Igual que la anterior ocasión, usaremos soluciones de onda plana en las que usaremos la cantidad de movimiento como número de onda y la energía como pulsación:

Ψ(t,x) = Ψ₀ e^{(i⁄ℏ)(p ⋅ x − E t)}.

La onda es Ψ(t,x), t es la coordenada temporal, x es la posición en el espacio y ℏ es una constante con dimensiones de acción (la constante de Planck) que aparece dividiendo para hacer adimensional el argumento de la exponencial.

Recuperar la energía y la cantidad de movimiento a partir de la onda

Recordamos los resultados que obtuvimos. Mediante derivación, extraemos la energía y la cantidad de movimiento. La energía se convierte en el siguiente operador diferencial:

E = i ℏ ∂ ⁄ ∂t.

Algo similar queda para la cantidad de movimiento:

p = −i ℏ ∇.

El cuadrado de la energía está relacionado con la derivada temporal segunda:

E² = (i ℏ ∂  ⁄ ∂t) ⋅ (i ℏ ∂  ⁄ ∂t) = −ℏ² ∂² ⁄ ∂t².

El cuadrado de la cantidad de movimiento está relacionado con la laplaciana:

p ⋅ p = (i ℏ ∇) ⋅ (i ℏ ∇) = −ℏ² ∇².

Todo junto: la ecuación de Klein-Gordon

Multipliquemos la forma funcional de la energía y la onda. Queda esto:

E² Ψ = (m c²)² Ψ + p ⋅ p c² Ψ.

Ahora podemos usar la equivalencia entre la energía y la cantidad de movimiento y los operadores diferenciales del anterior apartado.

−ℏ² (∂² ⁄ ∂t²) Ψ = (m c²)² Ψ − ℏ² c² ∇² Ψ.

Podemos reordenar mínimamente:

ℏ² (∂² ⁄ ∂t²) Ψ − ℏ² c² ∇² Ψ + (m c²)² Ψ = 0.

Esta ecuación es la ecuación de Klein-Gordon. Es una ecuación de ondas con un término másico adicional. El operador diferencial completo aparece a menudo bajo el nombre de d'Alembertiano.

Categorías: Física, Matemáticas

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