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Qué es eso del análisis dimensional (2): ejemplo de aplicación

2013-06-13

Presentamos anteriormente el concepto del análisis dimensional, un conjunto de herramientas de gran utilidad que se basa en el mero análisis de las dimensiones (es decir, de los tipos de magnitudes o, algo incorrectamente, de sus unidades de medida) de las variables físicas. Hoy vamos a ver una pequeña aplicación práctica.

El problema

Necesitamos conocer una frecuencia de resonancia f de cierta estructura. En vez de hacer un ensayo de la estructura real, trabajamos con un modelo a escala y, quizá, realizado en otro material. Digamos que la estructura original es de acero y vamos a trabajar con un modelo a escala realizado en aluminio. La frecuencia de resonancia que buscamos depende de:

• la geometría, que es esencialmente la misma en el modelo a escala y en la estructura real;
• el tamaño de la estructura, que es L_real en la estructura a tamaño real y L_escala en el modelo a escala;
• la densidad del material, que es ρ_real en la estructura real y ρ_escala en el modelo a escala;
• las propiedades elásticas del material, que son el módulo elástico (E_real en la estructura real y E_escala en el modelo a escala) y el coeficiente de Poisson (ν_real en la estructura real y ν_escala en el modelo a escala), un número adimensional que es aproximadamente el mismo en el acero de la estructura a tamaño real y en el aluminio del modelo a escala.

Reducción de la complejidad del problema

Con la geometría fija, la frecuencia de resonancia todavía depende de cuatro parámetros. Ahora bien, ya vimos que el análisis dimensional nos da herrmientas para reducir el tamaño del problema. En efecto, vimos que podemos simplificar si tomamos algunas magnitudes como unidades de medida, con lo que efectivamente formamos grupos adimensionales tras escalar. En nuestro problema, tenemos tres dimensiones físicas: el tiempo [T], la longitud [L] y la masa [M]. Las distintas magnitudes tienen dimensiones que se obtienen a partir de ellas:

• la frecuencia de resonancia f tiene dimensiones del inverso de un tiempo, [T]⁻¹;
• el tamaño L tiene dimensiones de longitud, [L];
• la densidad ρ tiene dimensiones de masa por unidad de volumen, [M] [L]⁻³;
• el módulo elástico E tiene dimensiones de presión, es decir, de masa dividida por longitud y por el cuadrado del tiempo, [M] [L]⁻¹ [T]⁻²;
• el coeficiente de Poisson ν es adimensional, es decir, tiene la dimensión de la unidad, 1.

Usar algunas variables del problema como nuevas unidades de medida es equivalente a formar grupos adimensionales. El objetivo es, por lo tanto, multiplicar potencias de las variables hasta que todo tenga las dimensiones de la unidad. Sin mucho esfuerzo, vemos que podemos formar un grupo combinando la frecuencia, el tamaño, la densidad y el módulo elástico. El grupo es el siguiente:

f² L² ρ E⁻¹.

Tenemos tres dimensiones físicas y hemos usado tres variables independientes (el tamaño L, la densidad ρ y el módulo elástico E) para definir las nuevas unidades de medida; por lo tanto, ya no nos quedan variables que eliminar. El grupo adimensional que nos ha salido, la frecuencia adimensional, depende de la única variable (ya adimensional) que queda: el coeficiente de Poisson ν.

Cómo escalar los resultados del experimento

La estructura real y el modelo a escala tienen casi el mismo coeficiente de Poisson:
ν_real ≈ ν_escala;
como este parámetro era el único que quedaba, podemos presumir que la frecuencia adimensional es aproximadamente la misma si realmente varía poco con el coeficiente de Poisson, lo que se cumple a menudo. Queda la siguiente relación:
(f_real)² (L_real)² ρ_real (E_real)⁻¹ ≈ (f_escala)² (L_escala)² ρ_escala (E_escala)⁻¹.
Con este minúsculo esfuerzo, hemos deducido cómo escala la frecuencia de resonancia:
f_real ≈ f_escala (L_escala ⁄ L_real) (ρ_escala ⁄ ρ_real)^1⁄2 (E_real ⁄ E_escala)^1⁄2.

El modelo a escala está hecho en aluminio y la estructura real está hecha de acero. Las proporciones de las densidades y las rigideces de estos materiales son tales que los términos correspondientes en la ecuación anterior dan un resultado que es casi 1, con lo que la frecuencia de resonancia de la estructura real de acero es muy aproximadamente la del modelo de aluminio multiplicada por el factor de escala.

Categorías: Física

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