…esto no es un subtítulo…
2013-06-13
Presentamos anteriormente el concepto del análisis dimensional, un conjunto de herramientas de gran utilidad que se basa en el mero análisis de las dimensiones (es decir, de los tipos de magnitudes o, algo incorrectamente, de sus unidades de medida) de las variables físicas. Hoy vamos a ver una pequeña aplicación práctica.
Necesitamos conocer una frecuencia de resonancia f de cierta estructura. En vez de hacer un ensayo de la estructura real, trabajamos con un modelo a escala y, quizá, realizado en otro material. Digamos que la estructura original es de acero y vamos a trabajar con un modelo a escala realizado en aluminio. La frecuencia de resonancia que buscamos depende de:
Con la geometría fija, la frecuencia de resonancia todavía depende de cuatro parámetros. Ahora bien, ya vimos que el análisis dimensional nos da herrmientas para reducir el tamaño del problema. En efecto, vimos que podemos simplificar si tomamos algunas magnitudes como unidades de medida, con lo que efectivamente formamos grupos adimensionales tras escalar. En nuestro problema, tenemos tres dimensiones físicas: el tiempo [T], la longitud [L] y la masa [M]. Las distintas magnitudes tienen dimensiones que se obtienen a partir de ellas:
Usar algunas variables del problema como nuevas unidades de medida es equivalente a formar grupos adimensionales. El objetivo es, por lo tanto, multiplicar potencias de las variables hasta que todo tenga las dimensiones de la unidad. Sin mucho esfuerzo, vemos que podemos formar un grupo combinando la frecuencia, el tamaño, la densidad y el módulo elástico. El grupo es el siguiente:
f2 L2 ρ E−1.
Tenemos tres dimensiones físicas y hemos usado tres variables independientes (el tamaño L, la densidad ρ y el módulo elástico E) para definir las nuevas unidades de medida; por lo tanto, ya no nos quedan variables que eliminar. El grupo adimensional que nos ha salido, la frecuencia adimensional, depende de la única variable (ya adimensional) que queda: el coeficiente de Poisson ν.
La estructura real y el modelo a escala tienen casi
el mismo coeficiente de Poisson:
νreal
≈ νescala;
como este parámetro era el único que quedaba, podemos presumir
que la frecuencia adimensional es aproximadamente la misma si realmente
varía poco con el coeficiente de Poisson, lo que se cumple a menudo.
Queda la siguiente relación:
(freal)2 (Lreal)2 ρreal (Ereal)−1 ≈ (fescala)2 (Lescala)2 ρescala (Eescala)−1.
Con este minúsculo esfuerzo, hemos deducido cómo escala la frecuencia
de resonancia:
freal ≈ fescala (Lescala ⁄ Lreal) (ρescala ⁄ ρreal)1⁄2 (Ereal ⁄ Eescala)1⁄2.
El modelo a escala está hecho en aluminio y la estructura real está hecha de acero. Las proporciones de las densidades y las rigideces de estos materiales son tales que los términos correspondientes en la ecuación anterior dan un resultado que es casi 1, con lo que la frecuencia de resonancia de la estructura real de acero es muy aproximadamente la del modelo de aluminio multiplicada por el factor de escala.
Categorías: Física
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