Estimar el tamaño de la Luna a partir de una fotografía
2013-06-29
He aquí un bonito ejercicio educativo: estimar el tamaño de la Luna a partir de una fotografía. Podría estar bien como ejercicio de campo para un escolar: practicaría con una cámara fotográfica y aplicaría unos pocos conocimientos elementales de astronomía, mecánica orbital, óptica y geometría euclídea.
El ejercicio propuesto en este artículo continúa sobre los cálculos hechos en el artículo ¿Está muy lejos la Luna? en el que hacíamos una estimación de la distancia entre la Tierra y la Luna. Hecho el cálculo o admitida la distancia como dato, lo siguiente que hay que hacer es salir de noche a fotografiar la Luna. Para que el ejercicio salga bien, es importante conocer la distancia focal y el tamaño de la película o del sensor con el que se hace la fotografía. Después, hay que medir la Luna en la imagen y hacer unas pocas cuentas. Como ejemplo de aplicación, trabajamos con una fotografía tomada hace un par de años con una cámara réflex digital.
Fotografía de la Luna. Es un recorte reducido de una imagen de
mayor tamaño.
Sabemos lo siguiente:
- La Luna aparece en la fotografía con un diámetro de unos 444 píxeles.
- La distancia focal con la que se tomó la fotografía es de 270 mm.
- El sensor de la cámara tiene 4288 píxeles de ancho.
- El sensor de la cámara mide 23,6 mm de ancho.
- La distancia a la Luna es de unos 0,38 Gm.
- La Tierra tiene un radio de unos 6,4 Mm.
Podemos resolver el problema de determinación del tamaño de la Luna con ayuda del siguiente gráfico ilustrativo:
Esquema de la estimación del tamaño de la Luna mediante
trazado de rayos.
El problema queda resuelto sin más que aplicar la razón de semejanza de triángulos del dibujo. También podemos ir paso a paso y dar una interpretación geométrica a cada resultado intermedio. El diámetro x de la Luna ocupa en el plano de la imagen unos 23,6 mm ⋅ 444 ⁄ 4288 ≈ 2,44 mm. Por otra parte, como la Luna está muy lejos (a más de mil millones de veces la distancia focal), podemos asumir que la lente enfoca al infinito. Cuando esto sucede, los ángulos son muy, muy pequeños y podemos aproximar el ángulo cubierto como la razón del tamaño de la imagen x y la distancia focal f: x ⁄ f. En este caso, el ángulo es aproximadamente igual a 2,44 mm ⁄ 270 ≈ 9,04 mrad. La distancia de la superficie terrestre al centro de la Luna es la que separa el centro de la Tierra con el centro de la Luna (los 0,38 Gm) menos el radio terrestre (unos 6,4 Mm), lo que da unos 0,37 Gm, pero como el cálculo que hicimos de la distancia a la Luna no tiene más precisión que dos cifras, realmente no tiene mucho sentido distinguir entre 0,38 Gm y 0,37 Gm. La distancia d = 0,38 Gm multiplicada por el diámetro angular x ⁄ f = 9,04 mrad que tiene la Luna dan un diámetro o de unos 3,4 Mm; el radio es de unos 1,7 Mm. Esto es precisamente el tamaño conocido de la Luna hasta dos cifras significativas, lo que está muy bien.
Categorías: Física
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