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Sí hay soluciones para las ecuaciones de Navier-Stokes

2018-01-11

Las ecuaciones de Navier-Stokes describen la dinámica macroscópica de muchos medios fluidos. Además de servir para satisfacer la curiosidad intelectual, tienen una utilidad práctica inmensa.

Leí esta mañana un articulillo divulgativo que afirmaba que las ecuaciones de Navier-Stokes son irresolubles. Esto no es cierto. Conocemos soluciones exactas de las ecuaciones de Navier-Stokes en muchos casos particulares, aunque no necesariamente para todos los casos que nos interesan. Lo que por ahora no está demostrado es, para muchas familias de condiciones de contorno y condiciones iniciales, si existen soluciones con ciertas propiedades deseables (que sean funciones suaves del espacio y el tiempo, que sean únicas…). Por supuesto, no conocemos la forma de obtener una solución exacta para todas las condiciones de contorno y unas condiciones iniciales que pueden ocurrírsenos.

Hay unas pocas soluciones particulares de las ecuaciones de Navier-Stokes que aparecen catalogadas en muchos libros de texto. También podemos construir soluciones de forma completamente sintética: nos inventamos un campo de velocidades y presiones, lo introducimos en las ecuaciones de Navier-Stokes con términos fuente (el campo de fuerza al que está sometido el fluido y la creación y destrucción de dicho fluido) por definir y nos limitamos a dar valor a dichos términos fuente para que las ecuaciones se cumplan. Conceptualmente, es lo mismo que buscar soluciones particulares x a la ecuación

A x = b

a base de inventar un valor de x y despejar trivialmente el valor de b para hacer que la ecuación se cumpla. Con este método, podemos generar infinitas soluciones particulares a las ecuaciones, pero que estas soluciones valgan para los casos que queremos resolver es otra historia.

En la práctica, somos incapaces de resolver de forma exacta las ecuaciones de Navier-Stokes la casi totalidad de condiciones de contorno y condiciones iniciales de interés práctico. Afortunadamente, hay muchas técnicas que dan soluciones aproximadas tan buenas como necesitamos en más y más casos. Las ecuaciones de Navier-Stokes son ellas mismas una aproximación de la realidad, no la propia realidad, así que no hay nada de malo en obtener aproximaciones de la solución exacta, no la propia solución exacta.


Categorías: Física, Matemáticas

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