El modelo epidemiológico SIR (2)
2020-03-17
El modelo SIR es un modelo muy sencillo del comportamiento de una epidemia a lo largo del tiempo. Ayer vimos algunas características del modelo. Hoy veremos cómo simplificar el modelo para analizar el comienzo de la propagación de una nueva epidemia.
Recordemos que el modelo sigue a lo largo del tiempo t la evolución de la proporción de susceptibles S(t), la proporción de infectados I(t) y la proporción de recuperados (inmunes y fallecidos) R(t) mediante el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias:
dS ⁄ dt = −(R0 ⁄ tI) S I;
dI ⁄ dt = (R0 ⁄ tI) S I − (1 ⁄ tI) I;
dR ⁄ dt = (1 ⁄ tI) I.
El parámetro R0 es el número medio de contagios por infectado cuando toda la población es susceptible y el parámetro tI es el tiempo medio que permanece un paciente infectado.
En una nueva epidemia para la que nadie cuenta con inmunidad, se parte de una situación inicial S(0) ≅ 1, I(0) ≪ 1, R(0) ≅ 0, es legítimo linealizar las ecuaciones a partir de la condición inicial, lo que permite analizar exclusivamente la proporción de infectados:
dI ⁄ dt ≅ [(R0−1) ⁄ tI] I.
Esto nos deja con la siguiente expresión para I(t):
I(t) ≅ I(0) e[(R0−1) ⁄ tI] t.
Como es de esperar, el número de infectados crece según una ley exponencial al comienzo de la epidemia.
Evolución temporal de los enfermos en una epidemia.
Aunque el modelo tiene dos parámetros (R0 y tI), ambos parámetros se combinan durante esta fase en solamente uno: el factor de crecimiento exponencial [(R0−1) ⁄ tI].
Categorías: Matemáticas, Salud
Permalink: http://sgcg.es/articulos/2020/03/17/el-modelo-epidemiologico-sir-2/
