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¿Qué pesa más: un kilo de paja o un kilo de plomo?

2021-06-14

¿Qué pesa más: un kilo de paja o un kilo de plomo? Es una pregunta divertida que hacerle a un niño y permite evaluar si confunde densidad y masa. Sabemos que, a efectos prácticos, una pequeña bala de paja de un kilogramo y un pequeño bloque de plomo de un kilogramo pesan lo mismo si los pesamos en el mismo lugar sobre la superficie terrestre. Vamos a ver que, si ambas masa tienen formas semejantes, el kilo de plomo puede, sobre el papel, pesar una cantidad insignificante más que el kilo de paja, pero la diferencia es tan minúscula que en la práctica no tiene sentido hablar de ella.

Está claro que, como la Tierra no tiene una perfecta simetría eférica, el peso depende ligeramente de la localización geográfica, pero las variaciones son tan pequeñas que la típica báscula doméstica no sirve para diferenciarlas.

Además de esto, ni la bala de paja ni el bloque de plomo son masas puntuales, así que su geometría también influye en el peso final, ya que las partículas más distantes se atraen menos que las partículas más próximas, pero el efecto es minúsculo.

Tanto la masa de paja como la masa de plomo pueden tener geometrías muy variadas, pero para fijar ideas, asumamos que son bastante compactas, no muy distintas de cubos o esferas: no vamos a medir una vasta alfombra de paja de una brizna de espesor ni un delgado alambre de plomo de varios kilómetros de longitud. El tamaño característico de la bala de paja, cuya densidad puede estar en torno a los 70 kg m⁻³, es

l_paja ≝ [1 kg ⁄ (70 kg m⁻³)]^1 ⁄ 3 ≅ 25 cm.

El tamaño característico del bloque de plomo, cuya densidad es de unos 11000 kg m⁻³, es

l_plomo ≝ [1 kg ⁄ (11000 kg m⁻³)]^1 ⁄ 3 ≅ 45 mm.

Para calcular la atracción gravitatoria, habría que integrar la fuerza entre pares de partículas de la Tierra y la masa de paja o plomo. Ahora bien, si expandimos en armónicos la aceleración gravitatoria inducida por la Tierra (tal que el efecto dominante es el de la masa de la Tierra concentrada en su centro) y hacemos un desarrollo en serie de Taylor truncado a la primera variación que no se anula, tenemos la siguiente aproximación para el peso W_paja de la paja y el peso W_plomo del plomo:

W_paja ≅ W₀ [1 − |k_paja| (l_paja ⁄ R)²],

W_plomo ≅ W₀ [1 − |k_plomo| (l_plomo ⁄ R)²].

Las constantes k_paja y k_plomo dependen de las formas detalladas de la bala de paja y del bloque de plomo y son de orden unidad porque hemos asumido formas compactas, no muy distintas de cubos o esfera. La constante W₀ es el peso de una masa puntual de 1 kg: cerca de 9,8 N en la superficie terrestre. R es la distancia al centro de la Tierra en el lugar en el que medimos: unos 6400 km en la superficie terrestre.

Es útil la desviación relativa del peso. En el caso de la paja, es

(W_paja−W₀) ⁄ W₀ ≅ −|k_paja| (l_paja ⁄ R)² ≅ −|k_paja| × 1,5 × 10⁻¹⁵.

En el caso del plomo, es

(W_plomo−W₀) ⁄ W₀ ≅ −|k_plomo| (l_plomo ⁄ R)² ≅ −|k_plomo| × 5 × 10⁻¹⁷.

Ambas desviaciones son negativas (es decir, la masa extensa pesa menos que la masa puntual) y, si los factores de forma k_paja y k_plomo son próximos entre sí, la bala de paja se desvía dos órdenes de magnitud más que el bloque de plomo o, lo que es lo mismo, el bloque de plomo pesa un poquito más que el bloque de paja, aunque esto no es decir mucho: una desviación del orden de 10⁻¹⁵ es a todos los efectos lo mismo que nada. Entre otros problemas, hay que reconocer que no es fácil conseguir que la masa paja y la masa de plomo aproximen un kilogramo con exactitud y precisión suficientes como para que tenga sentido hacer comparaciones de peso tan extremadamente finas.

Categorías: Física

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