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Ecuaciones de Euler de la mecánica de fluidos (3)

2011-11-14

Este artículo es la continuación de uno anterior que planteaba las ecuaciones de Euler de la mecánica de fluidos en forma integral de conservación y del de ayer, que hacía lo mismo con la forma diferencial de conservación, ambas útiles, además de en desarrollos analíticos, para plantear métodos de resolución numérica capaces de capturar con precisión discontinuidades como ondas de choque. Hoy veremos una tercera forma de escribir las ecuaciones: la diferencial de no conservación, que hace uso de la derivada convectiva y pone en evidencia fenómenos de tranmisión de ondas. Las ecuaciones son como siguen:

(∂⁄∂t) ρ + v ⋅ (∇ρ) + ρ (∇⋅v) = 0
(∂⁄∂t) v + v ⋅ (∇v) + (1 ⁄ ρ) ∇p = 0
(∂⁄∂t) (e+v²⁄2) + v ⋅ [∇(e+v²⁄2)] + (1 ⁄ ρ) v ⋅ (∇p) + (1 ⁄ ρ) p (∇⋅v) = 0.

Las anteriores ecuaciones son las ecuaciones de Euler de la mecánica de fluidos expresadas en forma diferencial de no conservación. Recordemos lo que significa cada símbolo:

• t es el tiempo;
• ρ es la densidad del fluido;
• v es la velocidad del fluido;
• v es el módulo de la velocidad del fluido;
• p es la presión en el fluido;
• e es la energía interna del fluido;
• (∂⁄∂t) es la derivada parcial con respecto del tiempo;
• ∇o es el gradiente del campo o;
• ∇⋅o es la divergencia del campo o.

Los dos primeros términos de cada ecuación son la derivada convectiva, que es la derivada de lo que le sucede a una partícula fluida expresada en la descripción euleriana.

• La primera ecuación nos indica que la densidad de la partícula decrece conforme aumenta su velocidad de crecimiento volumétrico (que es la divergencia de la velocidad).
• La segunda ecuación nos indica que su aceleración es igual al campo de aceleraciones al que está sometida (opuesto al gradiente de presión).
• La última ecuación nos indica que la potencia recibida por la partícula viene de la del campo de aceleraciones al proyectarse sobre la velocidad (el trabajo de las fuerzas de presión a lo largo de la trayectoria) y la de la presión al actuar sobre la velocidad de crecimiento volumétrico (el trabajo de la presión al comprimirse o expandirse un sistema simple compresible).

¡Podríamos haber deducido fácilmente esta forma de las ecuaciones a partir de primeros principios! No lo hicimos así porque la forma diferencial de no conservación asume que el campo fluido es diferenciable, lo que es a menudo mucho suponer con unas ecuaciones con tendencia a las discontinuidades como las ondas de choque.

Estas ecuaciones forman un sistema hiperbólico de primer orden. Escritas así, tienen una forma cuasilineal que hace evidente la transmisión de información por convección o en forma de ondas. Tienen esta forma general: la suma de la derivada temporal de las variables primitivas más algo multiplicado por la derivada espacial de estas mismas variables primitivas se anula. En la forma diferencial de conservación, las derivadas espaciales no eran de las variables primitivas, sino de unos flujos que eran magnitudes derivadas de éstas.

Podemos deducir la forma diferencial de no conservación a partir de la forma diferencial de conservación (que, a su vez, deducíamos de la forma integral de conservación, deducida ella a partir de primeros principios). Recordemos las ecuaciones en forma diferencial de conservación:
(∂⁄∂t) ρ + ∇⋅(ρv) = 0
(∂⁄∂t) (ρv) + ∇⋅(ρv⊗v+pI) = 0
(∂⁄∂t) (ρe+ρv²⁄2) + ∇⋅(ρev+ρv²v⁄2+pv) = 0.
En estas ecuaciones, I es el tensor unitario de rango 2. Si desarrollamos mediante la regla de la cadena las dos últimas ecuaciones (la segunda ley de Newton y el principio de conservación de la energía), podemos eliminar los términos dependientes de las derivadas de la densidad gracias a la primera ecuación (la de conservación de la masa). Unas pocas manipulaciones elementales nos devuelven las ecuaciones en su forma diferencial de no conservación. Para la segunda ley de Newton, tenemos el siguiente desarrollo:
[(∂⁄∂t)ρ]v + ρ[(∂⁄∂t)v] + [∇⋅(ρv)]v + ρv(∇⋅v) + ∇p = [(∂⁄∂t)ρ+∇⋅(ρv)]v + ρ[(∂⁄∂t)v] + ρv(∇⋅v) + ∇p = ρ[(∂⁄∂t)v)+v(∇⋅v)] + ∇p = 0.
El desarrollo para la ecuación de la energía sigue la misma mecánica:
[(∂⁄∂t)ρ][e+v²⁄2] + ρ[(∂⁄∂t)(e+v²⁄2)] + [∇⋅(ρv)][e+v²⁄2] + (∇p)v + p(∇⋅v) = [(∂⁄∂t)ρ+∇⋅(ρv)][e+v²⁄2] + ρ{(∂⁄∂t)(e+v²⁄2)+v[∇(e+v²⁄2)]} + (∇p)v + p(∇⋅v) = ρ{(∂⁄∂t)(e+v²⁄2)+v[∇(e+v²⁄2)]} + (∇p)v + p(∇⋅v) = 0.
Deducimos con esto las ecuaciones que ya escribimos antes:

(∂⁄∂t) ρ + v ⋅ (∇ρ) + ρ (∇⋅v) = 0
(∂⁄∂t) v + v ⋅ (∇v) + (1 ⁄ ρ) ∇p = 0
(∂⁄∂t) (e+v²⁄2) + v ⋅ [∇(e+v²⁄2)] + (1 ⁄ ρ) v ⋅ (∇p) + (1 ⁄ ρ) p (∇⋅v) = 0.

Estas ecuaciones han de ser complementadas por una ecuación constitutiva que permita relacionar la presión, la densidad y la energía interna; por ejemplo, puede ser aplicable el modelo de gas ideal en el que la presión, la densidad y la temperatura están relacionados mediante la ecuación de estado de los gases ideales y la energía interna depende linealmente de la temperatura y sólo de la temperatura:
p ∝ ρ T.
Otros modelos más sofisticados también son útiles. El problema principal de estas ecuaciones es que dejan de tener validez en cuanto aparece una discontinuidad… ¡pero las discontinuidades como las ondas de choque y las superficies de contacto tienden a aparecer con facilidad en muchos regímenes de gran interés! En tales casos, hay que recurrir momentáneamente a las ecuaciones en forma integral de conservación o a una forma especial que éstas adoptan en el estudio de las discontinuidades: las ecuaciones de Rankine-Hugoniot. Eso llegará en otro artículo.

Otros artículos sobre las ecuaciones de Euler de la mecánica de fluidos

• Las ecuaciones en forma integral de conservación.
• Las ecuaciones en forma diferencial de conservación.

Categorías: Física, Matemáticas

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