Tensiones o esfuerzos mecánicos (19)
2016-06-29
La mecánica de los medios continuos se ocupa del estudio del comportamiento macroscópico de los sólidos y los fluidos no como sistemas de partículas sueltas, sino como medios infinitamente divisibles. Se trata de una disciplina que, además de poder ser interesante por sus propios méritos, es la base de buena parte de nuestro actual desarrollo tecnológico. Ayer vimos cómo cambiar de ejes de coordenadas en los estados de tensión plana. Hoy vamos a plantear la misma cuestión de una forma alternativa.
Cambio de ejes cartesianos en tensión plana
Vamos a usar la misma notación y los mismos conceptos que usamos ayer.
Imaginemos un medio en un estado de tensión plana. Elijamos un punto de dicho medio. Con origen en este punto definimos dos sistemas de ejes coordenados cartesianos: los ejes originales x e y por una parte y los ejes rotados x' e y' por otra parte. El eje x' es como el eje x rotado un ángulo θ en sentido antihorario y el eje y' es como el eje y rotado un ángulo θ en sentido antihorario. En el entorno del punto, tomemos un triángulo rectángulo infinitesimal tal que sus dos catetos están alineados con los ejes coordenados x e y. La hipotenusa es perpendicular al eje x' (o paralela al eje y'). El triángulo está sometido a una tensión uniforme. La siguiente figura ilustra la situación:
Geometría y tensiones.
Para que el triángulo esté en equilibrio, tienen que cumplirse las siguientes condiciones:
σxx cos(θ) − σxy sin(θ) = σ'x'x' cos(θ) − σ'x'y' sin(θ);
σyy sin(θ) + σxy cos(θ) = σ'x'x' sin(θ) + σ'x'y' cos(θ).
Estas dos ecuaciones son suficientes para determinar la tensión directa σ'x'x' y la tensión cortante σ'x'y' en los ejes rotados:
σ'x'x' = {[1+cos(2θ)] ⁄ 2} σxx + {[1−cos(2θ)] ⁄ 2} σyy + sin(2θ) σxy;
σ'x'y' = [sin(2θ) ⁄ 2] (σyy−σxx) + cos(2θ) σxy.
La tensión directa restante, σ'y'y', es fácil de calcular: como el eje y' es como el eje x' rotado un ángulo recto, basta tomar el resultado de σ'x'x' y sustituir el ángulo θ con θ+π ⁄ 2:
σ'y'y' = {[1−cos(2θ)] ⁄ 2} σxx + {[1+cos(2θ)] ⁄ 2} σyy − sin(2θ) σxy.
Estos resultados son precisamente los que dedujimos ayer.
Categorías: Física
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