SGCG

Volver arriba

Deformaciones mecánicas (3)

2017-09-06

En general, los cuerpos y medios materiales no permanecen perfectamente quietos, sino que se mueven y cambian de forma según transcurre el tiempo como consecuencia de sus interacciones con el entorno y de su propia dinámica interna. Esta serie de artículos trata sobre los cambios de forma o deformaciones.

El tensor de gradiente de desplazamiento

El campo de desplazamientos propociona una descripción cinemática completa de lo que le sucede a un cuerpo que se deforma, pero la información es demasiado cruda: ¿cómo podemos distinguir los movimientos de sólido rígido de las deformaciones? Puede ser conveniente ir paso a paso y librarnos inicialmente de un tipo muy concreto de movimiento de sólido rígido: la traslación. En una traslación pura, todos los puntos se desplazan igual: según una descripción lagrangiana (en la que seguimos cada punto del cuerpo en su movimiento y etiquetamos cada punto con las coordenadas de su posición inicial), el campo de desplazamientos es uniforme, es decir, no varía de un punto a otro. Esto sugiere que una buena descripción de la deformación podría estar relacionada de alguna manera con cómo varía el vector desplazamiento de un punto a otro, pues si no hay variación, tenemos una traslación pura, sin deformación. Tomemos en un cierto instante de tiempo un campo vectorial de desplazamiento u(x) en función del vector de posición x. Si la descripción es lagrangiana, el vector de posición es el del punto material en su posición inicial, mientras que si la descripción es euleriana, el vector de posición es el del punto espacial en el que se mide en el instante final. Una buena manera de expresar la variación del vector de desplazamientos con la posición inicial es el gradiente:

∇u(x).

Definamos un sistema de coordenadas cartesianas con ejes designados con los índices 1, 2 y 3. El vector de posición tiene como componente en el eje i-ésimo el valor x_i y el vector de desplazamiento tiene como componente en el eje i-ésimo el valor u_i. El gradiente de desplazamientos, que es un tensor de orden 2, tiene por componente i,j-ésima la expresión

∂u_i ⁄ ∂x_j.

Esta expresión es así de sencilla en coordenadas cartesianas. En un sistema curvilíneo (entre los que destacan las coordenadas cilíndricas y las esféricas), el álgebra se complica un poco.

Si la descripción es lagrangiana y las coordenadas son las de los puntos materiales en sus posiciones iniciales, el tensor es el tensor material de gradiente de desplazamientos. Si la descripción es euleriana y las coordenadas son las de los puntos espaciales en los que se mide en el instante final, el tensor es el tensor espacial de gradiente de desplazamientos.

Las traslaciones puras de sólido rígido dan como resultado un campo tensorial de gradiente de desplazamientos nulo. Las rotaciones puras y las deformaciones dan lugar a campos no nulos, pero veremos que es posible distinguir unos movimientos de otros.

Categorías: Física

Artículos publicados el mismo mes

Permalink: http://sgcg.es/articulos/2017/09/06/deformaciones-mecanicas-3/

Volver arriba