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La botella y la bodega de avión (7)

2013-07-30

Continuamos con los artículos sobre lo que pasaría con una botella cerrada y llena de algún líquido al transportarla en la bodega de un avión. Vimos que el principal problema es aguantar el salto de presión entre el ambiente de la bodega (inferior a la que hay en tierra porque la presurización es limitada) y la del interior de la botella (similar a la que había al cerrarla en tierra). Esta diferencia de presión puede estar en el entorno de los 25 kPa.

Estamos diseñando un experimento para emular el efecto de la diferencia de presión en vuelo sobre el tapón de la botella. El experimento consiste en frenar repentinamente la botella para que su contenido se agolpe contra el tapón. Ya vimos que detener la caída de la botella muy rápidamente provocaría sobrepresiones muy, muy grandes (aunque el caso límite estudiado es francamente difícil de poner en práctica). También vimos el otro extremo, el de una frenada suave y lenta (tal que la propagación de ondas acústicas es comparativamente instantánea), que es algo mucho más fácil de conseguir en la práctica y que ya provoca la sobrepresión buscada sin problemas. Hoy vamos a hacer una primera aproximación al frenado controlado de la botella, pero nos saldrá algo excesivamente brusco. Por supuesto, en vez del experimento que planteamos, podríamos dejar caer la botella y frenarla con las manos, pero eso sería mucho menos entretenido.

Primer intento de diseño de un sistema de frenado

Podemos frenar la caída con mediante una cuerda de tender de polipropileno tan larga como la altura de la caída. La cuerda frena la botella antes de que llegue al suelo. Lo que hacemos es montar un arnés alrededor del cuello de la botella de modo que este arnés permite una sujeción simétrica mediante la cuerda; la figura siguiente ilustra el concepto.

Primera disposición experimental para provocar una sobrepresión.
Primera disposición experimental para provocar una sobrepresión. La longitud de la cuerda, h más adelante, es igual a la altura de la caída.

La cuerda está atada rígidamente al techo. De esta manera, la única flexibilidad importante se debe a la cuerda, no a su anclaje.

Una cuerda de polipropileno típica tiene un módulo elástico efectivo E = 1,3 GPa, mientras que su resistencia a la tracción varía según el fabricante; encuentro tensiones de rotura entre σu = 12 MPa y σu = 25 MPa. Usaremos la resistencia más baja para dimensionar el sistema.

La cuerda, que es mucho más ligera que la botella llena de líquido (cuya masa ronda M = 2 kg), se comporta como un muelle cuya constante es K = E π D2 ⁄ (4 h),
donde D es el diámetro de la sección transversal y h es la longitud de la cuerda, que es lo mismo que la altura de la caída.

La cuerda actúa como muelle en el momento en el se extiende por completo al llegar la botella abajo. Tenemos una masa M (la masa de la botella rellena y el arnés) sujeta a un muelle de constante K. Esto es un oscilador armónico simple cuya frecuencia angular es ω = (K ⁄ M)1 ⁄ 2. La masa tiene una velocidad inicial v = (2 g0 h)1 ⁄ 2, que es la que imprime la aceleración gravitatoria g0 ≈ 9,8 m s−2 tras una caída desde una altura h desde el reposo. La cuerda o muelle frena la masa según una ley sinusoidal hasta el momento en el que se destensa. La aceleración máxima es
a = g0 [1 + (v ω ⁄ g0)2]1 ⁄ 2.
Para calcular la tensión en la cuerda y la carga de inercia que determina la sobrepresión, hace falta sumar a esta aceleración la aceleración gravitatoria g0. Antes de hacer más cuentas, podemos ver que el grupo
v ω ⁄ g0 = [E π D2 ⁄ (2 M g0]1 ⁄ 2
es independiente de la longitud de la cuerda (que es la altura de suelta de la botella) debido a que lo que crece la rapidez por un lado decrece la frecuencia por otro, así que al final nos sale que tanto la tensión de la cuerda como la sobrepresión cerca del tapón de la botella no dependen de la longitud de la cuerda.

La tensión máxima en la cuerda es
σ = M (g0 + a) ⁄ (π D2).
Si introducimos las definiciones de arriba e igualamos esta tensión a la resistencia de la cuerda, obtenemos una ecuación que permite determinar el diámetro D de la sección de cuerda, que es el único parámetro libre con el que podemos jugar. Tras un poquito de álgebra, obtenemos este valor:
D = {(8 ⁄ π) [(E − σu) ⁄ σu] (M g0 ⁄ σu)}1 ⁄ 2.
La resistencia es mucho más pequeña que el módulo elástico. Podemos despreciar algún término con seguridad:
D ≈ [(8 ⁄ π) (E ⁄ σu) (m g0 ⁄ σu)]1 ⁄ 2.
Mal empezamos, pues esto toma un valor de más de 21 mm con la resistencia más baja (o unos 11 mm con la resistencia más alta).

La sobrepresión en el tapón es la que calculamos en el último artículo:
Δp = ρ (g0 + al,
con una densidad del líquido ρ y una altura de la columna de líquido l. Si sustituimos los resultados anteriores, nos sale que la sobrepresión adopta, como mínimo (cuando el diámetro es el mínimo admisible para evitar que la cuerda se rompa), el siguiente valor:
Δp = ρ g0 h [4 E (E − σu) ⁄ (σu)2 + 1]1 ⁄ 2.
Como la resistencia es mucho más pequeña que el módulo elástico, podemos despreciar muchos términos; la siguiente expresión da casi el mismo resultado:
Δpρ g0 h 2 E ⁄ σu.
Con una densidad similar a la del agua (1,0 Mg m−3) y una altura de la columna de líquido de 25 cm, la sobrepresión queda tan rematadamente grande (más de 210 veces los 25 kPa buscados o quizá unas 100 si la resistencia del material es la máxima y podemos permitirnos la sección más pequeña) que esto no hay por donde cogerlo.

Habríamos obtenido los mismos resultados en menos tiempo sin más que anticipar que la aceleración gravitatoria es mucho menor que la aceleración de la botella debida a la tensión de la cuerda. Al fin y al cabo, buscábamos una aceleración de unas cien veces la gravitatoria.

Los resultados que hemos obtenido son completamente inadecuados. O cambiamos de material, o buscamos una solución más flexible. Haremos lo último en el próximo artículo.

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Categorías: Física

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