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Tensiones o esfuerzos mecánicos (15)

2016-06-11

La mecánica de los medios continuos se ocupa del estudio del comportamiento macroscópico de los sólidos y los fluidos no como sistemas de partículas sueltas, sino como medios infinitamente divisibles. Se trata de una disciplina que, además de poder ser interesante por sus propios méritos, es la base de buena parte de nuestro actual desarrollo tecnológico. Uno de los conceptos más importantes de la mecánica de los medios continuos es el del tensor de tensiones o esfuerzos, que es una descripción matemática del estado de fuerzas por unidad de superficie en el seno de un medio continuo. Vimos hace unos meses que las tensiones en un medio continuo quedan caracterizadas mediante un tensor simétrico de segundo orden: el tensor de tensiones. Hay varias maneras de resumir las características de este tensor; algunas, como la cuártica indicatriz de tensiones, son representaciones geométricas. Hoy vamos con otra representación geométrica que es muy similar a la cuártica indicatriz de tensiones: la cuártica directriz de tensiones. El desarrollo es similar al de la cuádrica indicatriz de tensiones, pero en vez de ofrecer información relacionada con la dirección normal de medida, la aporta relacionada con el vector tensión.

La cuádrica directriz de tensiones

Asumiremos que al menos una de las tensiones principales es no negativa. Si todas las tensiones principales fueran negativas, el estudio de la tensión sería trivial. Además de esto, asumimos el siguiente orden:

σ1σ2σ3.

En ejes principales, conocido el vector tensión, la dirección normal tiene las siguientes componentes:

n1 = t1σ1;

n2 = t2σ2;

n3 = t3σ3.

La tensión normal σ es la proyección del vector tensión sobre el vector normal:

σt ⋅ n = (t1)2 ⁄ σ1 + (t2)2 ⁄ σ2 + (t3)2 ⁄ σ3.

Ahora, definamos el vector y de componentes

y1t1 ⁄ √σ;

y2t2 ⁄ √σ;

y3t3 ⁄ √σ.

Al expresar la ecuación de la tensión normal en función de las componentes de este nuevo vector y dividir por |σ|, se obtiene la siguiente ecuación:

signo(σ) = σ ⁄ |σ| = (y1)2 ⁄ σ1 + (y2)2 ⁄ σ2 + (y3)2 ⁄ σ3.

Se trata de la ecuación implícita de una superficie cuádrica que es el lugar geométrico ocupado por el vector y: la cuádrica directriz de tensiones.

Todas las tensiones principales tienen el mismo signo

La ecuación de la cuádrica directriz de tensiones solamente tiene solución real:

La cuádrica directriz de tensiones es un elipsoide cuya ecuación es la siguiente:

(y1)2 ⁄ |σ1| + (y2)2 ⁄ |σ2| + (y3)2 ⁄ |σ3| = 1.

Cuádrica directriz de tensiones cuando todas las tensiones
          principales son positivas.
Cuádrica directriz de tensiones cuando todas las tensiones principales son positivas.

Dos tensiones principales tienen un signo y la tensión principal restante tiene el signo opuesto

La cuádrica directriz de tensiones es un hiperboloide. Asumamos en primer lugar que las dos primeras tensiones principales son negativas y la tercera es positiva:

σ1σ2 < 0 < σ3.

Si la tensión normal es positiva (a tracción), tenemos un hiperboloide de dos hojas:

−(y1)2 ⁄ |σ1| − (y2)2 ⁄ |σ2| + (y3)2 ⁄ |σ3| = 1.

Si la tensión normal es negativa (a compresión), tenemos un hiperboloide de una hoja:

(y1)2 ⁄ |σ1| + (y2)2 ⁄ |σ2| + (y3)2 ⁄ |σ3| = −1.

La frontera entre ambos casos, con tensión normal nula, es un cono elíptico:

(y1)2 ⁄ |σ1| + (y2)2 ⁄ |σ2| + (y3)2 ⁄ |σ3| = 0.

Cuádrica directriz de tensiones cuando dos tensiones
          principales son negativa y la tercera es positiva.
Cuádrica directriz de tensiones cuando dos tensiones principales son negativas y la tercera es positiva.

La relación de signos se invierte cuando una tensión principal es negativa y las dos restantes son positivas: el hiperboloide de dos hojas es para tensión normal compresiva y el hiperboloide de una hoja es para tensión normal a tracción.

Una tensión principales nula y las otras dos no nulas y de signo idéntico

Debido a la ordenación que hemos asignado a las tensiones principales, tenemos una de las dos siguientes condiciones: