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El modelo epidemiológico SIR (13)

2020-05-04

El modelo SIR es un modelo muy sencillo del comportamiento de una epidemia a lo largo del tiempo. Tras explicar algunas características del modelo, vimos:

Hoy veremos cómo extraer el ritmo reproductivo básico del modelo con natalidad y mortalidad en equilibrio.

Recordemos que el modelo sigue a lo largo del tiempo t la evolución de la población susceptible S(t), la población infectada I(t) y la población recuperada (inmune) R(t) mediante el siguiente sistema dinámico:

dS ⁄ dt = μ Nβ S I ⁄ Nμ S;

dI ⁄ dt = β S I ⁄ Nγ Iμ I;

dR ⁄ dt = γ Iμ R.

Aparecen varios símbolos cuyo significado es el siguiente:

El ritmo reproductivo básico es el número de contagios que genera el primer sujeto infectado. En este modelo, hablar del primer sujeto infectado es lo mismo que hablar de S(0) ≅ N, I(0) ≪ N, R(0) = 0. Linealicemos el comportamiento de los infectados alrededor de este estado inicial:

dI ⁄ dtβ Iγ Iμ I.

Hagamos un seguimiento exclusivo del primer infectado. Para ello, tenemos que ignorar el término de nuevos contagios β I. Con abuso de notación, nuestro «paciente cero» evoluciona cumpliendo la ley siguiente:

dI ⁄ dt ≅ −γ Iμ I.

Con esta ecuación, la evolución a partir de I(0) es como sigue:

I(t) ≅ I(0) e−(γ+μt.

Así decae esta visión del caso inicial que tiene el modelo. Esta infección inicial genera β I nuevos contagios por unidad de tiempo, con lo que los nuevos contagios generados por la infección inicial son

R0 I(0) = ∫0≤t<∞β I(t) dt = [β ⁄ (γ+μ)] I(0).

Por lo tanto, el ritmo reproductivo básico es

R0 = β ⁄ (γ+μ).

La generalización de este razonamiento es el método de la matriz de próxima generación, por cierto, que sirve para asignar un ritmo reproductivo básico a modelos compartimentales de forma muy general.


Categorías: Matemáticas, Salud

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