El modelo epidemiológico SIR (20)
2020-06-16
El modelo SIR es un modelo muy sencillo del comportamiento de una epidemia a lo largo del tiempo. Tras explicar algunas características del modelo, vimos:
- cómo simplificar el modelo para analizar el comienzo de la propagación de una nueva epidemia;
- el comportamiento de la proporción de infectados en esta fase inicial;
- cómo relacionar las variables sin necesidad de integrar en el tiempo;
- cómo calcular el máximo número de infectados simultáneos;
- cómo calcular el resultado final de la epidemia;
- cómo se comporta la epidemia en el entorno del máximo de infectados simultáneos;
- cómo varían los infectados cerca del final de la epidemia;
- cómo se relacionan la fase de crecimiento exponencial inicial de la epidemia y la fase de decrecimiento exponencial final de la epidemia;
- qué condición es necesaria para la inmunidad de grupo;
- cómo queda modificado el modelo si en vez de trabajar con proporciones sobre la población total, trabajamos con números absolutos de individuos;
- cómo plantear el modelo cuando hay nacimientos y defunciones, pero la población total se mantiene estable;
- cómo extraer el ritmo reproductivo básico del modelo con natalidad y mortalidad en equilibrio;
- los puntos fijos o puntos de equilibrio del sistema referido a los susceptibles y los infectados;
- la naturaleza del punto de equilibrio libre de enfermedad;
- la naturaleza del equilibrio endémico;
- cómo las soluciones se mantienen confinadas en el conjunto de valores que tiene sentido físico;
- cómo las soluciones siempre convergen a algún punto de equilibrio (bien el equilibrio endémico, bien el equilibrio libre de enfermedad).
- un repaso gráfico al comportamiento del sistema para varios conjuntos de parámetros.
Hoy vamos a ilustrar cómo varían las soluciones en función de si el equilibrio endémico es un nodo atractor o una espiral.
Recordemos que estamos estudiando el siguiente sistema autónomo:
dS ⁄ dt = μ − (1+μ) R0 S I − μ S;
dI ⁄ dt = (1+μ) R0 S I − (1+μ) I.
Aparecen varios símbolos cuyo significado es el siguiente:
- La variable dependiente S es la proporción susceptible de la población total.
- La variable dependiente I es la proporción de la población infectada.
- La variable independiente t es el tiempo hecho adimensional de forma que la población infectada pasa a ser población recuperada a un ritmo por unidad de tiempo adimensional igual a la propia población infectada. El primer artículo sobre los puntos fijos explica esto.
- El símbolo μ denota tanto la natalidad como la mortalidad, que son iguales. Este número es nulo en el caso en el que no hay nacimientos ni muertes (o cuando se producen a un ritmo tan lento que es legítimo despreciar su efecto) y es positivo en el caso más general.
- El símbolo R0 es el ritmo reproductivo básico (los nuevos contagios que provoca el caso inicial). Este número es nulo en el caso trivial de una enfermedad que no se contagia y positivo en el caso general de las enfermedades contagiosas.
Vimos en el último artículo los retratos de fase correspondientes a varios parámetros. Estos retratos de fase ilustran muy bien las soluciones de forma global, pero no está de más echar un vistazo a la evolución temporal de algunas soluciones particulares.
Nodo como equilibrio endémico
La siguiente figura muestra la diferencia entre una evolución particular de una epidemia endiabladamente intensa cuando la natalidad es nula y cuando hay una natalidad pequeña. Las curvas de infectados activos se siguen durante un tiempo hasta que se impone el comportamiento a largo plazo de convergencia exponencial al nodo que es el equilibrio endémico en el caso con natalidad.
Solución particular de una epidemia con un nodo como equilibrio
endémico comparada con la misma epidemia cuando no hay natalidad.
Espiral como equilibrio endémico
La siguiente figura muestra la diferencia entre una evolución particular de una epidemia cuando la natalidad es nula y cuando hay una natalidad pequeña. Las curvas de infectados activos se siguen durante un tiempo hasta que se impone el comportamiento a largo plazo de convergencia oscilatoria a la espiral que es el equilibrio endémico en el caso con natalidad.
Solución particular de una epidemia con una espiral como
equilibrio endémico comparada con la misma epidemia cuando no hay
natalidad.
Categorías: Matemáticas, Salud
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